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,欢迎进入数学课堂,1.5定积分的概念之定积分的性质,一、定积分问题举例,曲边梯形设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.,1.曲边梯形的面积,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?,怎样求曲边梯形的面积？,求曲边梯形的面积,(1)分割:,ax0x1x2xn1xnb,Dxi=xi-xi1;,小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi(xi1xixi);,(2)近似代替:,(4)取极限:,设maxDx1,Dx2,Dxn,曲边梯形的面积为,(3)求和:曲边梯形的面积近似为;,2.变速直线运动的路程,已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段T1,T2内所经过的路程S.,(1)分割:,T1t0t1t2tn1tnT2,Dtititi1;,(2)近似代替:,物体在时间段ti1,ti内所经过的路程近似为,DSiv(i)Dti(ti1iti);,物体在时间段T1,T2内所经过的路程近似为,(3)求和:,(4)取极限:,记maxDt1,Dt2,Dtn,物体所经过的路程为,二、定积分定义,定积分的定义,maxDx1,Dx2,Dxn;,记Dxi=xi-xi1(i1,2,n),ax0x1x2xn1xnb;,在区间a,b内插入分点:,设函数f(x)在区间a,b上有界.,如果当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间a,b的分法和xi的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间a,b上,定积分各部分的名称积分符号,f(x)被积函数,f(x)dx被积表达式,x积分变量,a积分下限,b积分上限,a,b积分区间，,定积分的定义,二、定积分定义,积分和,定积分的定义,二、定积分定义,说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即,函数的可积性如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在,则称f(x)在区间a,b上可积.,定理1如果函数f(x)在区间a,b上连续,则函数f(x)在区间a,b上可积.定理2如果函数f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.,定积分的定义,二、定积分定义,定积分的几何意义,当f(x)0时,f(x)在a,b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.,当f(x)0时,f(x)在a,b上的定积分表示曲边梯形面积的负值.,这是因为,一般地,f(x)在a,b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.,定积分的几何意义,当f(x)0时,f(x)在a,b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.,当f(x)0时,f(x)在a,b上的定积分表示曲边梯形面积的负值.,利用定义计算定积分,解:,取分点为(i=1,2,n-1),则(i=1,2,n).,在第i个小区间上取右端点(i=1,2,n).,于是,利用几何意义求定积分,解函数y1x在区间0,1上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间0,1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边,以区间0,1为底的曲边梯形是一个直角三角形,其底边长及高均为1,所以,例2,三、定积分的性质,两点规定,这是因为,三、定积分的性质,性质1,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立,三、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,推论1,如果在区间ab上f(x)g(x)则,这是因为g(x)f(x)0从而,如果在区间ab上f(x)0则,性质5,所以,这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以,推论1,如果在区间ab上f(x)g(x)则,如果在区间ab上f(x)0则,性质5,推论2,推论1,如果在区间ab上f(x)g(x)则,如果在区间ab上f(x)0则,性质5,推论2,性质6,设M及m分别是函数f(x)在区间ab上的最大值及最小值则,如果函数f(x)在闭区间ab上连续则在积分区间ab上至少存在一个点x使下式成立,这是因为,由性质6,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,由介值定理,至少存在一点xa,b,使,两端乘以ba即得积分中值公式.,解,总结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,小结,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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