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单扩域,假定是域的扩域，而是的一个元要讨论单扩域的结构，我们把的元分成两类,假如这样的，不存在，就叫做上的一个超越元若是上的一个代数元，就叫做的一个单代数扩域；若是上的一个超越元，,就叫做的一个单超越扩域,单扩域的结构通过以下定理可以掌握,定理若是上的一个超越元，那么的商域这里是上的一个未定元的多项式环若是上的一个代数元，那么,这里是的一个唯一的确定的、最高系数为的不可约多项式，并且证明包含上的的多项式环一切，我们知道，,是上的未定元的多项式环到的同态满射，现在我们分两个情形来看,情形是上的超越元这时以上映射是同构映射：由，定理，的商域的商域由，定理，我们可以知道，（）的商域另一方面，的商域包含也包含，因此，由的定义（）的商域,由（）和（）得的商域因而的商域,情形是上的代数元这时这里是上述同态满射的核由，定理和定理，是一个主理想环，所以的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子，,而的单位就是的非零元所以令的最高系数是，就是唯一确定的由的定得：；由此得不是的非零元但是上的代数元，所以也不是零多项式因此，的次数,我们说，是的一个不可约多项式不然的话，将有，和的次数的次数,这样，是一个不可约多项式，因而是的一个最大理想，而是一个域这样是一个域但包含也包含，并且，所以证完,以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域当是域上代数元的时候，我们还可以把描述得更清楚一点,的形式，这里是的次数要把这样的两个多项式和相加，只需把相当的系数相加；与的乘积等于，这里是用除所得的余式,证明由于，所以的一个任意元可以写成的形式但其中因而，由于，有,我们已经看到，多项式对于一个单代数扩域的重要性显然是理想里的一个次数最低的多项式,定义中满足条件的次数最低的多项式叫做元的在上的极小多项式叫做的在上的次数以上的讨论是在域有扩域的前提下进行的现在我们问，若是只给了一个域，是不是的单扩域存在？,存在的单超越扩域容易看出我们知道，上的一个未定元的多项式环和的商域都是存在的的商域显然是包含和的最小域，而按照未定元的定义，是上的一个超越元因此的商域就是的一个单超越扩域由定理，的任何单超越扩域都是同构的,现在我们证明定理对于任一给定域以及上一元多项式环的给定不可约多项式总存在的单代数扩域，其中在上的极小多项式是,证明有了和，我们可以作剩余类环因为是不可约多项式，所以是一个最大理想，因而是一个域我们知道，有到的同态满射,这里是所在的剩余类由于，在这个同态满射之下，与同构这样，由于和没有共同元，根据，定理我们可以把的子集用来掉换，而得到一个域，使得，,现在我们看的元在里的象由于所以在里因此，假如我们把在里的逆象叫做，我们就有,这样，域包含一个上的代数元我们证明，就是在上的极小多项式令是在上的极小多项式那么中一切满足条件的多项式显然作成一个理想，而这个理想就是主理想（参看，定理的证明）因此能被整除但不可约，所以一定有，,但和的最高系数都是，所以，而因此我们可以在域中作单扩域，而能满足定理的要求实际上，这一点我们留给读者去证明证完,给了域和的一个最高系数为的不可约多项式，可能存在若干个单代数扩域，都满足定理的要求但我们有,定理令和是域的两个单代数扩域，并且和在上有相同的极小多项式那么和同构证明假定的次数是那么的元都可以写成的形式，而的元都可以写成的形式，这里映射,显然是和间的同构映射证完,总起来，我们有定理在同构的意义下，存在而且仅存在域的一个单扩域，其中的极小多项式是的给定的，最高系数为的不可约多项式,
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