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,欢迎进入数学课堂,向量的数量积,问题1:,我们学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？,平面向量的加法、减法和数乘三种运算；,运算的结果仍是向量,问题2:,一个物体在力的作用下发生了位移，那么该力对此物体所做的功为多少？,其中力和位移是向量，是与的夹角，而功W是数量.,将公式中的力与位移推广到一般向量,功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；,结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。,出现了向量的一种新的运算,1、向量的夹角,规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。,课堂练习1,D,2、向量的数量积的定义,一般地，如果两个非零向量的夹角为那么我们把叫做向量的数量积，记作，即,2、向量的数量积是一个数量,不是向量。,向量的数量积的说明,3、规定,1、不能写成且不能省略。,当为非零向量时，数量积的正负由夹角余弦值决定。,4、特别记,如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求（1）的数量积；（2）的数量积；,A,B,C,课堂练习2,3、向量的数量积的重要性质,即,两个重要的充要条件,3、向量的数量积的重要性质,即,1350,直角,例2、填空,(),(),(),(),(),1、已知均为非零向量,试判断下列说法是否正确？,课堂练习3,课堂练习3,（）,D,C,问题:,（1）实数乘法有哪些运算律？,（2）这些运算律是否能适用于向量的数量积的运算？,4、向量的数量积的运算律,实数乘法,向量的数量积,类比猜想,是否都成立？,验证向量数量积的运算律,思考：,即：向量数量积运算不满足结合律,若,如何验证？,或通过向量数量积的坐标表示验证。,可借助向量数量积的几何意义验证；,5、向量的数量积的几何意义,(B1),cos叫做向量在向量上的投影，cos叫做向量在向量上的投影.,5、向量的数量积的几何意义,(1)投影是一个数量，不是向量。,5、向量的数量积的几何意义,5、向量的数量积的几何意义,用向量的几何意义验证,向量的数量积的常用公式,例3、证明,求：（1）在方向上的投影；（2）在方向上的投影；,为何值时，与互相垂直？,（5）,（3）,（6）,（4）,（7）,课堂练习4,例6、用向量方法证明：径所对的圆周角为直角。,如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须证向量，即。,解：设则，由此可得：,即，ACB=90,五、小结,1、向量的夹角,2、向量数量积的定义,3、向量数量积的性质,4、向量数量积的运算律,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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