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第三章 晶格振动与晶体的热学性质,晶格振动的研究 晶体的热学性质 固体热容量 热运动是晶体宏观性质的表现,杜隆珀替经验规律, 一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能 量均分定律，每个自由度平均热能为kT,摩尔热容量,总的内能,1,晶格振动 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础,晶格振动 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超 导电性、磁性、结构相变有密切关系, 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降,摩尔热容量, 与温度无关, 杜隆珀替经验规律,2,原子的振动 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波, 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密 顿量之和, 这些谐振子的能量量子，称为声子 晶格振动的总体可看作是声子的系综, 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的 振 动模式, 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的,3,3-1 简谐近似和简正坐标,简谐近似 只考虑最近邻原子之间的相互作用,研究对象 由N个质量为m的原子组成的晶体,偏离平衡位置的位移矢量,原子的位置,第n个原子的平衡位置,3个方向上的分量,原子位移宗量,一、晶格振动和谐振子,4,N个原子的位移矢量, 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开,取,平衡位置, 不计高阶项,系统的势能函数,5,系统的哈密顿量,系统的势能函数,系统的动能函数, 含有坐标的交叉项,6,引入简正坐标, 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来,假设存在线性变换,系统的哈密顿量,拉格朗日函数,正则动量,(坐标变换),7,系统的哈密顿量,正则方程, 3N个独立无关的方程,简正坐标方程解,简正振动 所有原子参与的振动，振动频率相同,振动模 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动,正则动量,8,只考察某一个振动模,系统能量本征值计算,正则动量算符,系统薛定谔方程,9,任意一个简正坐标, 谐振子方程,能量本征值,本征态函数, 厄密多项式,10,系统能量本征值,系统本征态函数,N个原子组成的晶体,系统薛定谔方程,11,把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们，频率为的谐振子，其能量为,n=0,1,2 （357）,（量子力学修正）,二 、能量量子和声子,12,这表明谐振子处于不连续的能量状态。 当n0时，它处于基态，E0 ,称为零点能。 相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子，称它为声子，正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。,3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式 （357）也是一个频率为的格波的能量。频率为i(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的能量为i (q)的声子数n的多少来表征。,13,1.声子是玻色子,一个模式可以被多个相同的声子占据，和q相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻色统计。 除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用，则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。,讨论,玻色子（boson)，得名于印度物理学家玻色.。玻色子是指自旋为整数的粒子。不遵守泡利不相容原理。在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。符合玻色爱因斯坦统计.,14,2.声子是一种准粒子,粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。 声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量。,15,3.准动量选择定则,准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh,(q)= (q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1q2q3Gh 简写成： q1q2q3Gh,16,各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？ 由于声子间相互作用很弱，除了碰撞外，可不考虑它们之间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。,三.平均声子数,17,意义： 频率为的格波温度为T时的平均声子数。 当 KBT时， 0.6,定性地讲，此格波已激发，以此为界，温度为T时，只有KBT的格波才能被激发。,（359),18,
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