曲线的极坐标方程(湛治超).ppt

曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义,湛治超,课前巩固：,上节课我们一起学习了极坐标的意义表示，以及极坐标与直角坐标的互化，我们一起回顾一下：1：极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。2：点与其极坐标一一对应的条件：3：极坐标与直角坐标的互化公式,探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,M,A,(,),曲线的极坐标方程的意义：,一般地，如果一条曲线任意一点都有一个极坐标适合方程M（，)=0；并且，极坐标适合方程M（，)=0的点都在曲线上。那么，这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线,曲线的极坐标方程,一定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0；（）以方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。则曲线的方程是f(,)=0。,二求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样建系（适当的极坐标系）设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）将等式坐标化化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）,例1:,求经过点A（3,0），且与极坐标垂直的直线l的极坐标方程？解：设P（，）是直线l上任意一点（O为极点）OPcos=OAcos=3故所求直线的极坐标方程为cos=3变式训练1：已知点p的极坐标为（1，）那么过点p且垂直于极轴的直线极坐标方程？解：cos（-）=1/-cos=1/cos=-1故所求直线的极坐标方程为cos=-1,例2：,求圆心在A（3,0），且过极点的圆A的极坐标方程解：设P（，）是圆A上任意一点则OP=OBcos圆的半径OA=3=6cos故所求圆A的极坐标方程为=6cos变式训练2：求圆心在C（r，/2）半径为r的圆的极坐标方程cos（-/2）=/2rsin=/2r=2rsin故所求圆C的极坐标方程为=2rsin,你可以用极坐标方程直接来求吗？,例3：,（1）：化直角坐标方程x+y-8y=0为极坐标方程（2）：化极坐标方程=6cos(-/3)为直角坐标方程解（1）：=8sin（2）：x+y-3x-33y=0变式训练3：=5=25x+y=25,练习1,求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为2；()中心在(a,0)，半径为a；()中心在(a,/2)，半径为a；()中心在(0,)，半径为r。,2,2acos,2asin,2+02-20cos(-)=r2,若圆心的坐标为M(,)，圆的半径为r，求圆的极坐标方程解:设P(,)为圆周上任意一点,如下图所示,在OCP中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即r2=21+2-21cos(-1).也就是2-21cos(-1)+(21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.,练习2,1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(),（）,A、双曲线B、椭圆C、抛物线D、圆,D,（）,C,（）,C,思考：在平面直角坐标系中过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为,x=3,y=3,四直线的极坐标方程：,例1：求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。,（2）求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。,（3）求过极点，倾斜角为的直线的极坐标方程。,和,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,小结：（）曲线的极坐标方程概念（）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程（3）会求直线的极坐标方程,总结：求直线的极坐标方程步骤：,1、据题意画出草图；,2、设点是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,圆锥曲线的极坐标的统一形式,高二数学选修4-4,两种特殊的极坐标方程,两种特殊的极坐标方程,两种特殊的极坐标方程,如图建立坐标系，设圆锥曲线上任一点，由定义知整理得：此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程,x,K,A,F,B,三种圆锥曲线的统一的极坐标方程,上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线,当0e1时，方程表示椭圆，F是左焦点，L是左准线。,当1e时，方程表示双曲线，F是右焦点，L是右准线。,当e=1时，方程表示抛物线，F是焦点，L是准线，开口向右。,表示椭圆表示抛物线表示双曲线右支(允许表示整个双曲线),x,F,y,1.确定方程表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。,P,x,O,D,A3B6C9D12,B,另解：,x,O,练习,练习,5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线过焦点的弦中通径最短，其长为2P。,x,O,N,M,证明：,