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第四章四边形与相似第3讲相似三角形,考点梳理过关,考点1成比例线段,考点2平行线分线段成比例,1两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2平行于三角形一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例,考点3相似三角形,考点4相似多边形,考点5位似图形,提示由于利用位似变换可以将图形放大或缩小，所以位似变换常常与其他变换(轴对称、平移、旋转)方式结合考查作图，解答问题时，先确定变换方式及变换顺序，再根据相应的变换作出关键点(如：三角形的三个顶点、图形的拐点等)的对应点，最后按照图形的原有顺序连接即可,典型例题运用,类型1比例线段,【例1】,.,变式运用1.已知a，b，c是ABC的三边长，且,类型2平行线分线段成比例,【例2】如图，已知ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，DEBC，点F是DE延长线上的点，连接FC，若,【思路分析】由平行线分线段成比例定理和已知条件得出，证出ABCF，再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果,变式运用2.教材改编如图，已知在ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DEBC，EFAB，且ADDB35，那么CFCB等于()A58B38C35D25,A,变式运用3.2018原创如图，在ABCD中，E为AD的三等分点，AEAD，连接BE交AC于点F，AC12，则AF为(),B,A4B4.8C5.2D6,类型3图形的位似,【例3】2017凉山州中考如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(4，5)(1)画出ABC关于x对称的A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为2，并求出A2B2C2的面积,【思路分析】(1)画出A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1即可解决问题；(2)连接OB延长OB到点B2，使得OBBB2，同法可得点A2，C2，A2B2C2就是所求三角形,【自主解答】(1)如图所示，A1B1C1就是所求三角形,变式运用4.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为(5，0)，则点A的坐标为()A(2，5)B(2.5，5)C(3，5)D(3，6),B,变式运用5.如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每个方格的边长均为1个单位长度)(1)将OAB向右平移1个单位后得到O1A1B1，请画出O1A1B；(2)请以O为位似中心，在x轴上方画出O1A1B的位似图形，使它与O1A1B1的相似比为21；(3)点P(a，b)为OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P的坐标为_,解：(1)如图，O1A1B1即为所求的三角形。(2)如图，O2A2B2即为所求的三角形(3)点P(a，b)为OAB内一点，位似变换后的对应点P的坐标为(2a2，2b)，故答案为：(2a2，2b),六年真题全练,命题点相似三角形,12017泰安，29，11分如图，四边形ABCD是平行四边形，ADAC，ADAC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点(1)若EDEF，求证：EDEF；(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论；(请先补全图形，再解答)(3)若EDEF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由,解：(1)证明：在ABCD中，ADAC，ADAC，ACBC，ACBC.如图，连接CE.E是AB的中点，AEEC，CEAB.ACEBCE45.ECFEAD135.EDEF，CEFAED90CED.在CEF和AED中，CEFAED(ASA)EDEF.,CEFAED，ECE，ECFEAD,(2)四边形ACPE是平行四边形证明：补全图形如图由(1)知CEFAED，CFAD.ADAC，ACCF.DPAB，FPPB.CPABAE.又CPAE，四边形ACPE为平行四边形(3)垂直证明：如图，过E作EMDA交DA的延长线于点M，过E作ENAF于点N.NAEMAE45，ENAM90，在RtDME与RtFNE中，DMEFNE.(HL)ADECFE.,EMEN，DEEF，,在ADE与CFE中，ADECFE(AAS)DEAFEC.DEADEC90，CEFDEC90.DEF90.EDEF.,ADECFE，DAEFCE135，DEEF，,22016泰安，27，10分如图，在四边形ABCD中，AC平分BCD，ACAB，E是BC的中点，ADAE.(1)求证：AC2CDBC；(2)过E作EGAB，并延长EG至点K，使EKEB.若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FHGH；若B30，求证：四边形AKEC是菱形,解：(1)AC平分BCD，DCAACB.又ACAB，ADAE，DACCAE90，CAEEAB90，DACEAB.又E是BC的中点，AEBE.EABABC.DACABC.ACDBCA.AC2CDBC.,(2)证明：如图，连接AH.ADCBAC90，点H，D关于AC对称，AHBC.EGAB，AEBE，点G是AB的中点HGAG.GAHGHA.点F为AC的中点，AFFH.HAFFHA.FHGAHFAHGFAHHAGCAB90.FHGH.EKAB，ACAB，EKAC.又B30，ACBCEBEC.又EKEB，EKAC，即AKKEECCA.四边形AKEC是菱形,32015泰安，27，10分如图，在ABC中，ABAC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APDB.(1)求证：ACCDCPBP；(2)若AB10，BC12，当PDAB时，求BP的长,解：(1)证明：ABAC，BC.APDB，APDBC.APCBAPBAPDCPD，BAPCPD.ABPPCD.ABCDPCBP.ABAC.ACCDCPBP.,(2)PDAB，APDBAP.APDC，BAPC.BB，BAPBCA.AB10，BC12，,42014泰安，28，11分如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC与BD交于点E，ADBACB.,(1)求证：(2)若ABAC，AEEC12，F是BC中点求证：四边形ABFD是菱形,52013泰安，26，11分如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADCACB90，E为AB的中点(1)求证：AC2ABAD；(2)求证：CEAD；(3)若AD4，AB6，求的值.,解：(1)证明：AC平分DAB，DACCAB.ADCACB90，ADCACB.AC2ABAD.(2)证明：E为AB的中点，CEABAE.EACECA.DACCAB，DACECA.CEAD.,62012泰安，28，11分如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC，CD于点M，F，BGAC，垂足为G，BG交AE于点H.(1)求证：ABEECF；(2)找出与ABH相似的三角形，并证明；(3)若E是BC的中点，BC2AB，AB2，求EM的长,解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABEECF90.AEEF，AEBFEC90.AEBBAE90，BAECEF.ABEECF.(2)ABHECM.证明：BGAC，ABGBAG90.ABHECM.由(1)知，BAHCEM，ABHECM.,得分要领在判别两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角，公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形(或构造成比例的线段)；或利用特征图形(如公共边、公共角的两个三角形)找相似三角形；注意依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形；或利用分别等于中间比的两个比相等实现对等比进行转移判别三角形相似的方法有时单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可,
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