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6 重积分的应用,应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量, 还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等.,一 曲面的面积,二 重心,三 转动惯量,四 引力,返回,一、曲面的面积,具有连续的一阶偏导数，现讨论由方程,所表示的曲面 S 的面积.,(1) 对区域 D 作分割 T，把 D 分成 n 个小区域,. 这个分割相应地将曲面 S 也分成 n 个,小曲面片,充分小时, 有,在点 附,现在按照上述曲面面积的概念, 来建立曲面面积的,计算公式.,作为 的面积.,注意到和数,或另一形式:,到曲面 S 的面积计算公式:,解 据曲面面积公式,那一部分的面积.,一阶偏导数,且,记,其中,则有,由(4),便得参数曲面(3)的面积公式：,例2 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积,（图21-39中阴影部分).,解 设球面的参数方程为:,其中 R 是球面半径.,由于,所以,由公式(5)即得所求曲面的面积:,注 在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度,地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积,呢? 施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是,不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程,（如菲赫金哥尔茨微积分学教程中译本第三卷,第二分册).,的面积公式，下面用二重积分给予严格证明.,*例3 设平面光滑曲线的方程为,的极限来定义(当各段的长趋于零时),但能否类似,在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面,二、重 心,V 上连续.为求得 V 的重心坐标,先对 V 作分割 T,物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.由于,质点系的重心坐标公式为,的重心坐标:,重心坐标:,例4 求密度均匀的上半椭球体的重心.,由5 例5 已知,故得,即求得上半椭球体的重心坐标为,三、转 动 惯 量,A 的质量, r 是 A 与 l 的距离.,现在讨论空间物体 V 的转动惯量问题,我们仍然采,用前面的办法,把 V 看作由 n 个质点组成的质点系，,然后用取极限的方法求得 V 的转动惯量.,质点 A 对于轴 l 的转动惯量为 其中 m 是,质点系对于x 轴的转动惯量是,动惯量:,类似可得 V 对于 y 轴与 z 轴的转动惯量分别为,同理,物体 V 对于坐标平面的转动惯量分别为,同样地,平面薄板 D 对于坐标轴的转动惯量为,平面薄板 D 对于轴 l 的转动惯量为,例5 求密度均匀的圆环 D 对于垂直于圆环面中心,轴的转动惯量 ( 图21-40 ).,解 设圆环 D 为,与 z 轴的距离平方,例6 求均匀圆盘 D 对其直径的转动惯量(图21-41).,解 设圆盘 D 为,动惯量.由于 D 内任一点,其中 为圆环的质量.,其中 m 为圆盘的质量.,例7 设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，,试求它对于切平面的转动惯量.,则球体对于此平面的转动惯量为,经详细计算,可得,四、引 力,的引力.,示,现用微元法来求 V 对 A 的引力.,V 中质量微元对 A 的引力在坐标轴上的投影为,于是, 力 F 在三个坐标轴上的投影分别为,其中 k 为引力系数，,点 A 的引力 (引力系数为 k ).,显然有,所以,其中,
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