高中物理 第5章 万有引力定律及其应用 第1节 万有引力定律及引力常量的测定教师用书 鲁科版必修2

第1节万有引力定律及引力常量的测定学 习 目 标知 识 脉 络1.了解开普勒三定律的内容2掌握万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题(重点)3了解引力常量G，并掌握其测定方法及意义4会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路(重点、难点)行 星 运 动 的 规 律开普勒三定律：定律内容图示开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上开普勒第二定律太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比，公式：k1为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动()2太阳系中所有行星的运动速率是不变的()3太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长()如图511所示，所有行星都绕太阳在椭圆轨道上运行，某一行星绕太阳运动的速率在不同位置都一样大吗？图511【提示】不一样，在行星距离太阳较近时速率大，在行星距离太阳较远时速率小如图512所示为地球绕太阳运动的示意图，A、B、C、D分别表示春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置探讨1：太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？根据开普勒第二定律，且地球在秋冬两季比在春夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天？ 图512【提示】太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至地球到太阳的距离不同探讨2：一年之内秋冬两季比春夏两季为什么要少几天？根据地球的公转周期计算火星的公转周期还需要知道什么数据？【提示】根据开普勒第二定律，地球在秋冬两季比在春夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天根据k，要计算火星的公转周期还要知道火星轨道半径与地球轨道半径的比值1从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律2对速度大小的认识：(1)如图513所示，如果时间间隔相等，即t2t1t4t3，由开普勒第二定律，面积SASB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大因此开普勒第二定律又叫面积定律图513(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小3对周期长短的认识：(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体例如，绕某一行星运动的不同卫星(3)研究行星时，常数k与行星无关，只与太阳有关研究其他天体时，常数k只与其中心天体有关1关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是()A所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B所有行星绕太阳运动的轨道都是圆C所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同D所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比【解析】由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误【答案】A2某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图514所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于() 【导学号：01360160】图514AF2BACF1 DB【解析】根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳在离A点近的焦点上，故太阳位于F2.【答案】A3某人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道半径的，则此卫星运行周期大约是()A35天 B57天C79天 D大于9天【解析】月球绕地球运行的周期约为27天，根据开普勒第三定律k，得，则T27(天)5.2(天)【答案】B应用开普勒定律注意的问题(1)适用对象：开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时k，比值k是由中心天体所决定的另一恒量，与环绕天体无关(2)定律的性质：开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结出来的规律。它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的(3)对速度的认识：当行星在近日点时，速度最大由近日点向远日点运动的过程中，速度逐渐减小，在远日点时速度最小 万 有 引 力 定 律1内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1、m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比2表达式：FGm1m2/r2(1)r是两质点间的距离(若为匀质球体，则是两球心的距离)(2)G为万有引力常量，G6.671011m3/(kgs2)1一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略()2任何两物体间都存在万有引力()3地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球引力是两种不同性质的力()如图515所示，同一个物体在地球表面的不同位置时，所受的万有引力大小相同吗？图515【提示】由于地球不是一个标准的球体，物体处于地面的不同位置时，物体到地心的距离不同，所以万有引力的大小可能不同如图516所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的请思考：图516探讨1：任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r”指物体哪两部分间的距离？【提示】任意两物体之间都存在万有引力，r指两物体重心之间的距离探讨2：地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？【提示】相等符合牛顿第三定律1万有引力定律公式的适用条件：严格地说，万有引力定律公式FG只适用于计算两个质点间的相互作用，但对于下述两类情况，也可用该公式计算：(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用该公式计算，其中r是两个球体球心间的距离(2)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r为球心到质点间的距离2万有引力的“四性”：四性内容普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，总是满足大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的运动性质无关，也与周围是否存在其他物体无关4要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是()A使物体的质量各减小一半，距离不变B使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变C使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变D使两物体间的距离和质量都减为原来的【解析】根据FG可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的，当距离和质量都减为原来的时，万有引力不变，选项D错误【答案】D5某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为() 【导学号：01360161】AGBGCG DG【解析】万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以rRh.【答案】B6已知太阳的质量M2.01030 kg，地球的质量m6.01024 kg，太阳与地球相距r1.51011 m，(比例系数G6.671011Nm2/kg2)求：(1)太阳对地球的引力大小；(2)地球对太阳的引力大小【解析】(1)太阳与地球之间的引力跟太阳的质量成正比、跟地球的质量成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比，则FGN3.561022 N(2)地球对太阳的引力与太阳对地球的引力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知FF3.561022 N.【答案】(1)3.561022 N(2)3.561022 N万有引力定律的应用方法(1)首先分析能否满足用FG公式求解万有引力的条件(2)明确公式中各物理量的大小(3)利用万有引力公式求解引力的大小及方向引 力 常 量 的 测 定 及 意 义1在1798年，即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量. G6.671011 m3/(kgs2)2意义：使用万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值3知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”1引力常量是牛顿首先测出的()2卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性()3卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值()卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？【提示】因为卡文迪许测出引力常量G值之后，它使万有引力定律有了真正的实用价值，利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”观察图517，请思考：图517探讨1：如果知道自己的重力，你能求出地球的质量吗？如果能，还需要知道哪些物理量？【提示】能，根据mgG，M，故还需要万有引力常量，地球半径探讨2：如何能测得地球的密度呢？【提示】根据万有引力提供向心力，先求出地球质量，再根据计算地球密度1天体质量的计算：下面以计算地球的质量为例，介绍两种方法方法1：已知月球(地球的卫星)绕地球运动的周期T和轨道半径r，可计算出地球的质量M.由Gm2r得M.方法2：已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，可求得地球的质量不考虑地球自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg，Mg.2计算天体的密度：(1)若天体的半径为R，则天体的密度将M代入上式得：当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则.(2)已知天体表面上的重力加速度为g，则.7(2016东营高一检测)对于引力常量G的理解，下列说法中错误的是()AG是一个比值，在数值上等于质量均为1 kg的两个质点相距1 m时的引力大小BG的数值是为了方便而人为规定的CG的测定使万有引力定律公式更具有实际意义DG的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性【解析】根据万有引力定律公式FG可知，G，当r1 m，m1m21 kg时，GF，故A正确；G是一个有单位的物理量，单位是m3/(kgs2)G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确【答案】B8“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟已知引力常量G6.671011Nm2/kg2，月球半径约为1.74103 km.利用以上数据估算月球的质量约为() 【导学号：01360162】A8.11010 kgB7.41013 kgC5.41019 kg D7.41022 kg【解析】设探月卫星的质量为m，月球的质量为M，根据万有引力提供向心力Gm2(Rh)，将h200 000 m，T12760 s，G6.671011Nm2/kg2，R1.74106 m，代入上式解得M7.41022 kg，可知D选项正确【答案】D9(2016嘉峪关高一检测)未来世界中，在各个星球间进行远航旅行将成为一件小事某一天，小华驾驶一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面做匀速圆周运动飞行，飞船只受到该行星引力的作用，已知万有引力常量为G，要测定该行星的密度，仅仅只需测出下列哪一个量()A飞船绕行星运行的周期B飞船运行的轨道半径C飞船运行时的速度大小D该行星的质量【解析】设行星的半径为R，质量为M，飞船的质量为m，飞船绕行星运行的周期为T，由万有引力提供向心力：Gm2R得M，行星的密度，只需测出飞船绕行星运行的周期即可测出其密度，故选A.【答案】A求解天体质量时应明确的问题万有引力定律和圆周运动知识的结合，应用牛顿运动定律解决天体问题是非常典型的一种题型。解答此类问题应明确以下三点：(1)利用天体运动求解天体质量时，只能将被求天体作为中心天体，所研究的环绕天体的运动近似为匀速圆周运动进行求解(2)由于向心力表达式较多，要根据已知条件选择合适的公式求解(3)正确理解向心力表达式中的r的含义，它不是环绕天体到中心天体表面的距离，而是环绕天体球心到中心天体球心的距离学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)学业达标1(2016全国卷丙)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律【答案】B2关于开普勒行星运动的公式k，以下理解正确的是() 【导学号：01360163】Ak是一个与行星有关的量B行星轨道的半长轴越长，自转周期越长C行星轨道的半长轴越长，公转周期越长D若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则【解析】k中k是一个与行星无关的量，它是由太阳质量所决定的一个恒量，A错误；T是公转周期，B错误，C正确；k是指围绕太阳的行星的周期与轨道半径的关系，D错误【答案】C3关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是()A不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力B只有能看作质点的两物体间的引力才能用FG计算C由FG知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大D万有引力只存在于质量大的天体之间【解析】任何物体间都存在相互作用的引力，故称为万有引力，A、D错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用FG来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确【答案】C4(2016成都高一检测)两球表面间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，两球的半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为()AGBGCG DG【解析】计算两均匀球体间的万有引力时，公式FG中的r为两球球心之间的距离，所以两球间的万有引力FG，选项D正确【答案】D5某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F，为使此物体受到的引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为(R指地球半径)() 【导学号：01360164】ARB2RC4RD8R【解析】万有引力公式FG，其中r表示该物体到地球球心之间的距离，为使此物体受到的引力减小到，应把此物体置于距地面的高度为R处，使物体到地球球心的距离变成原来的2倍，故选A.【答案】A6地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为()A127B19C13 D91【解析】根据FG ，由于引力相等即GG，所以，故选项B正确【答案】B7“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式VR3，则可估算月球的()A密度 B质量C半径 D自转周期【解析】由万有引力提供向心力有Gmr，由于在月球表面轨道有rR，由球体体积公式VR3联立解得月球的密度，A正确【答案】A8为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M.已知地球的半径R6.4106 m，地球的质量m61024 kg，日地中心的距离r1.51011m，地球表面的重力加速度g取10 m/s2,1年约为3.2107s，试估算目前太阳的质量M.(保留一位有效数字，引力常数未知) 【导学号：01360165】【解析】设T为地球绕太阳运行的周期，则由万有引力定律和动力学知识得：Gm2r对地球表面的物体m，有mgG联立两式得M，代入数据得M2.01030 kg.【答案】2.01030 kg能力提升9假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A1 B1C()2 D()2【解析】设位于矿井底部的小物体的质量为m，则地球对它的引力为半径为(Rd)的部分“地球”对它的引力，地球的其他部分对它的引力为零，有mg，对位于地球表面的物体m有mg，根据质量分布均匀的物体的质量和体积成正比可得，由以上三式可得1，选项A正确【答案】A10(2014全国卷)假设地球可视为质量均匀分布的球体已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.BC. D【解析】物体在地球的两极时，mg0G，物体在赤道上时，mgm2RG，以上两式联立解得地球的密度.故选项B正确，选项A、C、D错误【答案】B11如图518所示，在距一质量为m0、半径为R、密度均匀的大球体R处有一质量为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F1，当从大球体中挖去一半径为的小球体后(空腔的表面与大球体表面相切)，剩下部分对质点的万有引力为F2，求F1F2. 【导学号：01360166】图518【解析】实心大球体对质点m的万有引力F1，可以看成挖去的小球体对质点m的万有引力F和剩余部分对质点m的万有引力F2之和，即F1F2F.根据万有引力定律，实心大球体对质点m的万有引力F1G.挖去的小球体的质量m03R3m0.挖去的小球体对质点m的万有引力FG.大球体剩余部分对质点m的万有引力F2为：F2F1FGGG.则.【答案】9712宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处(取地球表面重力加速度g10 m/s2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为，求该星球的质量与地球质量之比.【解析】(1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，根据运动学公式可有t.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t根据以上两式，解得gg2 m/s2(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg，所以M由此可得，.【答案】(1)2 m/s2(2)180