高中数学 章末综合测评4 新人教A版选修4-5

章末综合测评(四)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用数学归纳法证明“122225n1(nN)能被31整除”，当n1时原式为()A1B12C1234D.12222324【解析】左边122225n1，所以n1时，应为12251112222324.故选D.【答案】D2下列说法中正确的是()A若一个命题当n1,2时为真，则此命题为真命题B若一个命题当nk时成立且推得nk1时也成立，则此命题为真命题C若一个命题当n1,2时为真，则当n3时此命题也为真D若一个命题当n1时为真，nk时为真能推得nk1时亦为真，则此命题为真命题【解析】由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可A，B，C项均不全面【答案】D3设S(n)，则()AS(n)共有n项，当n2时，S(2)BS(n)共有n1项，当n2时，S(2)CS(n)共有n2n项，当n2时，S(2)DS(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)【解析】S(n)共有n2n1项，当n2时，S(2).【答案】D4数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是() 【导学号：32750073】A3n2 Bn2C3n1D.4n3【解析】计算知a11，a24，a39，a416，所以可猜想ann2.【答案】B5平面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()Af(k)1 Bf(k)kCf(k)k1D.kf(k)【解析】第k1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增加k个交点【答案】B6下列代数式，nN，能被13整除的是()An35n B34n152n1C62n11D.42n13n2【解析】当n1时，n35n6,34n152n1368,62n117,42n13n291，只有91能被13整除【答案】D7用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第二步正确的证明方法是()A假设nk(kN)时成立，证明nk1时命题也成立B假设nk(k是正奇数)时成立，证明nk1时命题也成立C假设n2k1(kN)时成立，证明n2k3时命题也成立D假设n2k1(kN)时成立，证明n2k1时命题也成立【解析】假设n的取值必须取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2.A，B，C错故选D.【答案】D8设01且nN)的结果时，第一步n_时，A_. 【导学号：32750074】【解析】 第一步n2时，A(21)(21)！1.【答案】2114已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN都成立，那么a_，b_，c_.【解析】先分别取n1,2,3并联立方程组得解得a，b，c.然后可用数学归纳法证明【答案】15证明1(nN)，假设nk时成立，当nk1时，左边增加的项数是_.【解析】左边增加的项数为2k112k12k.【答案】2k16假设凸k边形的对角线有f(k)条，则凸k1边形的对角线的条数f(k1)为_【解析】凸k1边形的对角线的条数等于凸k边形的对角线的条线，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(k2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(k)k1条对角线【答案】f(k)k1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用数学归纳法证明：(nN)【证明】(1)当n1时，左边，右边，左边右边所以当n1时，等式成立(2)假设nk(kN)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对于一切nN等式都成立18(本小题满分12分)求证：对于整数n0时，11n2122n1能被133整除【证明】(1)n0时，原式11212133能被133整除(2)假设nk(k0，kN)时，11k2122k1能被133整除，nk1时，原式11k3122k311(11k2122k1)11122k1122k311(11k2122k1)122k1133也能被133整除由(1)(2)可知，对于整数n0,11n2122n1能被133整除19(本小题满分12分)平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)n2n2个部分(nN)【证明】(1)当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)1122，所以n1时命题成立(2)假设nk(kN，k1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分则nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对一切nN，命题成立，即这几个圆将平面分成f(n)n2n2个部分(nN)20(本小题满分12分)求证：(n2). 【导学号：32750075】【证明】(1)当n2时，0，不等式成立(2)假设nk(k2)时，原不等式成立，即.则当nk1时，左边.所以当nk1时，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式对n2的所有的自然数都成立21(本小题满分12分)如果数列an满足条件：a14，an1(n1,2，)，证明：对任何自然数n，都有an1an且ana1.且a1ak且ak0.那么ak10.因此ak2ak1且ak1an且an0.22(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【解】(1)由题意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，1，等式成立假设当nk时，等式成立，即ak，则当nk1时，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak，即当nk1时，等式成立由可知，对nN，an.