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阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1抛物线y4x2的准线方程是()Ax1Bx1Cy Dy解析：选D由抛物线方程x2y，可知抛物线的准线方程是y.2“1m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当方程1表示椭圆时，必有所以1m3；但当1m0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bxay0，c3，根据已知得2，即2，解得b2，则a2c2b25，故所求的双曲线方程是1.8若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选D由题意得点P到直线x2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线9(山东高考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，y b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4 b bb216，所以b25，所以椭圆方程为1.10已知|3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|AB|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点P的轨迹方程是y21.11探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是()Ay2x By2xCx2y Dx2y解析：选C如果设抛物线的方程为y22px(p0)，则抛物线过点(40,30)，从而有3022p40，即2p，所以所求抛物线方程为y2x.虽然选项中没有y2x，但C中的2p符合题意12已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k()A. B.C. D.解析：选D将yk(x2)代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20.设A(x1，y1), B(x2，y2)，则x1x2，x1x24.抛物线y28x的准线方程为x2，由|FA|2|FB|及抛物线定义得x122(x22)，即x122x2，代入x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2.又因为k0，所以k.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_解析：双曲线焦点(4,0)，顶点(2,0)，故椭圆的焦点为(2,0)，顶点(4,0)答案：114设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则PF1F2的面积为_解析：由题意知|F1F2|24，设P点坐标为(x，y)由得则SPF1F2|F1F2|y|4.答案：15已知点A(1,0)，直线l：y2x4.点R是直线l上的一点若，则点P的轨迹方程为_解析：设P(x，y)，R(a,2a4)，则(1a,42a)，(x1，y)，消去a得y2x.答案：y2x16已知二次曲线1，当m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是_解析：m2，1，曲线方程化为1，曲线为双曲线，e.m2，1，e.答案：，三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P在抛物线上，62p.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，即a2b21.又点P在双曲线上，1，解方程组得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.18(本小题满分12分)已知抛物线方程为y22x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点若OMON，求直线l的方程解：设直线l的方程为ykx2，由消去x得ky22y40.直线l与抛物线相交，解得k且k0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，从而x1x2.OMON，x1x2y1y20，即0，解得k1符合题意，直线l的方程为yx2.19(本小题满分12分)设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，又一条渐近线为yx，即bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.t4，点D的坐标为(4，3)20(本小题满分12分)已知椭圆1及直线l：yxm.(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.上面方程的判别式36m236(2m218)36(m218)直线l与椭圆有公共点，0，据此可解得3 m3 .故所求实数m的取值范围为3 ，3 (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB| ，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.21(本小题满分12分)(新课标全国卷)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21中，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，由根与系数的关系得：x1x2，x1x2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.22(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程(2)已知定点E(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由解：(1)直线AB方程为：bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假若存在这样的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1,0)，当且仅当CEDE时，则1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知，存在k，使以CD为直径的圆过点E.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1抛物线yx2的焦点坐标是()A.B.C(0,2) D(0，2)解析：选D把方程化为标准形式得x28y，故焦点坐标为(0，2)2焦点在y轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D易知a3，c5，故b216，则方程为1.3若方程x2sin y2sin 21表示椭圆，则的取值范围是()A.，kZB.，kZC.，kZD以上皆不正确解析：选D把方程x2sin y2sin 21化为标准形式：1，由得：.4已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或C.或 D.解析：选B由焦点弦长公式|AB|得12，sin ，或.5平面内点P(x，y)的坐标满足方程 ，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线解析：选C由题意知点P到定点(1,1)的距离等于到定直线xy20的距离，故点P的轨迹为抛物线6已知抛物线y22px(p0)，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y轴的位置关系是()A相交 B相离C相切 D不确定解析：选C如图，|PP2|PP1|P1P2|(|MM1|FF1|)|P1P2|(|MM2|M1M2|FO|OF1|)|P1P2|(|MM2|FO|)|MM1|MF|，该圆与y轴相切7已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是()A.或 B.C. D.或解析：选D由题意得m4，当m4时，x2x21是椭圆，离心率为e ；当m4时，x2x21是双曲线，离心率为e.8方程mxny20与mx2ny21(mn0)在同一坐标系中的大致图象可能是()解析：选A把方程化为标准形式得y2x，1，当mn0，y2x表示焦点在x轴上，开口向右的抛物线，1表示双曲线，可排除B、C、D.9若P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，且PF1PF20，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选A在RtPF1F2中，设|PF2|1，则|PF1|2，|F1F2|，e.10若双曲线1(a0，b0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dy2x解析：选C由题意可知2a2cc，则4a2c2a2b2，解得3，所以，故该双曲线的渐近线方程是yx，选C.11从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为()A5 B10C20 D.解析：选B由抛物线方程y24x易得抛物线的准线l的方程为x1.又由|PM|5可得点P的横坐标为4，代入y24x，可求得其纵坐标为4或4，故SMPF5410，选B.12已知P(x，y)为椭圆C：1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|1且0，则|PM|的最小值为()A. B3C. D1解析：选A因为|1且 0，所以点M在以F(3，0)为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以当|PF|最小时，切线长|PM|最小，由图知，当点P为右顶点(5,0)时，|PF|最小，最小值为532，此时|PM|.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_解析：双曲线两渐近线垂直即为等轴双曲线，e.答案：14过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|PQ|_.解析：由抛物线定义知|PQ|x1x2p4p.答案：4p15已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_.解析：设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.答案：1216方程为1(ab0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若32，则该椭圆的离心率为_解析：设点D(0，b)，则(c，b)，(a，b)，(c，b)，由32得3ca2c，即a5c，故e.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆1共焦点，且以yx为渐近线(1)求双曲线方程；(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程解：(1)椭圆的焦点坐标为(5,0)，设双曲线方程为1(a0，b0)，则渐近线方程为0，即yx，所以解得则双曲线方程为1.(2)直线的倾斜角为，直线的斜率为，故直线方程为y(x5)，即xy50.18(本小题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为yx，求三条曲线的标准方程解：因为双曲线的焦点在x轴上，故其方程可设为1(a0，b0)，又因为它的一条渐近线方程为yx，所以，即 ，解得e2，因为c4，所以a2，ba2，所以双曲线方程为1.因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为，设椭圆方程为1(a1b10)，则c4，a18，b824248.所以椭圆的方程为1.易知抛物线的方程为y216x.19(本小题满分12分)顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线l：y2x1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度解：(1)由题意可知p2.抛物线的标准方程为x24y.(2)直线l：y2x1过抛物线的焦点F(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|y1y2py1y22，联立得x28x40，x1x28，|AB|y1y222x112x2122(x1x2)420.20(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且0，O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求k的值解：(1)依题意，可知PF1F1F2，c1，1，a2b2c2，解得a22，b21，c21，椭圆的标准方程为1.(2)直线l：ykxm与O：x2y21相切，则1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，0k20k0，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，x1x2y1y2，k1.21(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)设P(x，y)，则解得故P.(2)由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为ykx2，将其代入椭圆方程，得(14k2)x216kx120，0k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由AOB为锐角可得，0x1x2y1y20(1k2)x1x22k(x1x2)40，即(1k2)2k40，解得k24.综上，k的取值范围为.22(本小题满分12分)已知F1、F2为椭圆E的左、右焦点，点P为其上一点，且有|PF1|PF2|4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l1与椭圆E交于A、B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C、D两点，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD的最大值解：(1)设椭圆E的标准方程为1(ab0)，由已知|PF1|PF2|4得2a4，a2，又点P在椭圆上，1，b，椭圆E的标准方程为1.(2)由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S四边形ABCD4SOAB，设直线AB的方程为xmy1，且A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，y1y2，y1y2，SOABSOF1ASOF1B|OF1|y1y2|y1y2| 6 ，令m21t，则t1，SOAB66 ，又g(t)9t在1，)上单调递增，g(t)g(1)10，SOAB的最大值为，所以S四边形ABCD的最大值为6.
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