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第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若拋物线y24x上的一点P到焦点的距离为10，则P点的坐标是()A(9,6)B(9，6)C(6,9)D(6，9)解析：设P(x0，y0)，则x0110，x09，y36，y06，故P点坐标为(9，6)答案：B2以双曲线1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.1B1C.1D1解析：双曲线的焦点(4,0)，顶点(2,0)，故椭圆的焦点为(2,0)，顶点为(4,0)所以椭圆的标准方程为1.答案：A3是任意实数，则方程x2y2sin 4的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析：sin 可以等于1，这时曲线表示圆，sin 可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆答案：C4双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(，0)B(12,0)C(3,0)D(60，12)解析：a24，b2k，c24k.e(1,2)，(1,4)，k(12,0)答案：B5中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A.BC.D解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，所以其渐近线方程为yx，因为点(4，2)在渐近线上，所以，根据c2a2b2，可得，解得e2，e.答案：D6双曲线1(mn0)离心率为2，其中一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A.BC.D解析：抛物线y24x的焦点为(1,0)，mn1且e213，解得m，n，mn.答案：A7若双曲线1的渐近线l的方程为yx，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为()A.BC2D2解析：可知m0，双曲线1的渐近线方程为yx，m5，焦点为(，0)则焦点(，0)到渐近线yx的距离为d.答案：A8两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且ab，则双曲线1的离心率为()A.BC.D解析：由可得a5，b4，c2a2b241，c，e.答案：D9若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为()A.1B1C.1或1D以上都不对解析：短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，2ca，又ac，可知c，a2，b3.椭圆方程为1或1.答案：C10设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0解析：过F2作F2APF1于A，由题意知|F2A|2a，|F1F2|2c，则|AF1|2b，|PF1|4b，而|PF1|PF2|2a，4b2c2a，c2ba，c2(2ba)2，a2b24b24aba2，解得，双曲线的渐近线方程为yx.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11已知拋物线y24x上一点M与该拋物线的焦点F的距离|MF|4，则点M的横坐标x_.解析：拋物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1.根据拋物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案：312若双曲线的一个焦点为(0，13)且离心率为，则其标准方程为_解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，所以a5，b12，故其标准方程为1.答案：113若椭圆x2my21的离心率为，则它的长半轴长为_解析：当0m1时，1，e21m，m，a24，a2；当m1时，1，a1.应填1或2.答案：1或214已知椭圆1(ab0)的焦点为F1、F2，O为坐标原点，点P是椭圆上的一点，点M为PF1的中点，|OF1|2|OM|，且OMPF1，则该椭圆的离心率为_解析：OM綊F2P，又|OF1|2|OM|，|PF2|2|OM|c，PF2PF1，(2ac)2c2(2c)2，e22e20，得e1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，满分50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分)已知双曲线与椭圆1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程解析：双曲线的一个焦点坐标为(0,3)，双曲线的焦点在y轴上，方程化为1， 3，k1，双曲线的标准方程为x21.16(12分)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|3，且椭圆离心率是方程2x25x20的根，求椭圆方程解析：右焦点为F(c,0)，把xc代入1中，得y2b2，y.|MN|3.又2x25x20(2x1)(x2)0，x或2，又e(0,1)，e，即.又知a2b2c2，由联立解得椭圆方程为1.17(12分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少？解析：取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示因灯口直径|AB|24，灯深|OP|10，所以点A的坐标是(10,12)设抛物线的方程是y22px(p0)由点A(10,12)在抛物线上，得1222p10，p7.2.抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0)因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.18(14分)已知，椭圆C经过点A，两个焦点为(1,0)，(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线的斜率AE与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解析：(1)由题意，知c1，可设椭圆方程为1，因为A在椭圆上，所以1，解得b23，b2(舍去)所以椭圆的方程为1.(2)证明：设直线AE的方程为yk(x1)，代入1，得(34k2)x24k(32k)x42120.设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，所以xE，yEkxEk.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中k代k，可得xF，yFkxFk.所以直线EF的斜率kEF，即直线EF的斜率为定值，其值为.
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