高中数学 课时达标检测（十二）抛物线的简单几何性质 新人教A版选修1-1

课时达标检测（十二） 抛物线的简单几何性质一、选择题1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()Ay211xBy211xCy222x Dy222x解析：选C在方程2x4y110中，令y0得x，抛物线的焦点为F，即，p11，抛物线的方程是y222x.2过点(2,4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线l有()A1条 B2条C3条 D4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2 ) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：选B设A(x，y)，则y24x，(x，y)，(1x，y)，xx2y24，由可解得x1，y2.4(新课标全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|() A. B6 C12 D7解析：选C抛物线C：y23x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y，将y代入y23x，消去y整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p12. 5.(新课标全国卷)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x解析：选C由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5，得 5，又p0，解得p2或p8，故选C.二、填空题6顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是_解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py或x22py(p0)由顶点到准线的距离为4知p8，故所求抛物线的方程为x216y或x216y.答案：x216y或x216y7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为1.答案：8过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为yx，与x22py联立得A，B两点的横坐标为xAp，xBp，故Ap， p，Bp，p，所以|AF|p，|BF|2p，所以.答案：三、解答题9正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又|OA|OB|，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得(x1x2)(x1x22p)0.因为x10，x20,2p0，所以x1x2，由此可得|y1|y2|，即点A，B关于x轴对称由此得AOx30，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.所以|AB|2y14p.10已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.