高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 间接证明习题 苏教版选修2-2

2.2.2间接证明明目标、知重点1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题1间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明2反证法从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)3反证法步骤反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真4反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等情境导学王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”这就是著名的“道旁苦李”的故事王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法反证法探究点一反证法思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾反证法引出的矛盾有几种情况？答(1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；(3)与假设矛盾思考3反证法主要适用于什么情形？答要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形例1已知直线a，b和平面，如果a，b，且ab，求证：a.证明因为ab，所以经过直线a，b确定一个平面.因为a，而a，所以与是两个不同的平面因为b，且b，所以b.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点假设直线a与平面有公共点P，如图所示，则Pb，即点P是直线a与b的公共点，这与ab矛盾所以a.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法跟踪训练 1如图，已知ab，a平面A.求证：直线b与平面必相交证明假设b与平面不相交，即b或b.若b，因为ba，a，所以a，这与aA相矛盾；如图所示，如果b，则a，b确定平面.显然与相交，设c，因为b，所以bc.又ab，从而ac，且a，c，则a，这与aA相矛盾由知，假设不成立，故直线b与平面必相交探究点二用反证法证明否定性命题例2求证：不是有理数证明假设是有理数于是，存在互质的正整数m，n，使得，从而有mn，因此m22n2，所以m为偶数于是可设m2k(k是正整数)，从而有4k22n2，即n22k2，所以n也为偶数这与m，n互质矛盾由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列证明假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20.即，从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列探究点三含至多、至少、唯一型命题的证明例 3 函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设、为其中的两个实根因为 ，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设_答案三角形中至少有两个直角或钝角2用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中_答案每一个内角都小于603用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设_答案a与b相交4已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数设a2n1(nZ)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾由上述矛盾可知，a一定是偶数呈重点、现规律1反证法证明的3个步骤(1) 反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2) 归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3) 存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立2反证法与逆否命题区别反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾因此，反证法与证明逆否命题是不同的.一、基础过关1反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是_(填序号)与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾答案2否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为_答案a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c”中都是奇数或至少有两个偶数3有下列叙述：“ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有_答案解析错：应为ab；对；错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角4用反证法证明命题：“a、bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为_答案a，b都不能被5整除解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”5用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为_答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数6“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_.答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”7设二次函数f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：f(x)0无整数根证明设f(x)0有一个整数根k，则ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均为奇数，ab为偶数，当k为偶数时，显然与式矛盾；当k为奇数时，设k2n1(nZ)，则ak2bk(2n1)(2naab)为偶数，也与式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)0无整数根二、能力提升8用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为_答案a，b不全为0解析“a，b全为0”即是“a0且b0”，因此它的反设为“a0或b0”9设a，b，c都是正数，则下面关于三个数a，b，c的说法正确的是_都大于2 至少有一个大于2至少有一个不小于2 至少有一个不大于2答案解析假设a2，b2，c2，则(a)(b)(c)6.又(a)(b)(c)(a)(b)(c)2226，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10若下列两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_答案a2或a1解析若两方程均无实根，则1(a1)24a2(3a1)(a1)0，a.2(2a)28a4a(a2)0，2a0，故2a1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a2或a1.11已知a，b(0，)，求证：(a3b3)(a2b2).证明因为a，b(0，)，所以要证原不等式成立，只需证(a3b3)6(a2b2)6，即证(a3b3)2(a2b2)3，即证a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，只需证2a3b33a4b23a2b4.因为a，b(0，)，所以即证2ab2ab成立，以上步骤步步可逆，所以(a3b3)，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c，又因为0a1，所以0a(1a)()2.同理0b(1b)，0c(1c)，所以(1a)a(1b)b(1c)c与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立三、探究与拓展13.已知f(x)是R上的增函数，a，bR.证明下面两个命题：(1)若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.证明(1)因为ab0，所以ab，ba，又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，由不等式的性质可知f(a)f(b)f(a)f(b)(2)假设ab0，则ab，ba，因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，这与已知f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，所以假设不正确，所以原命题成立