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5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角课时目标理解两条异面直线的夹角、二面角及二面角的平面角的概念，能用向量方法解决线线、面面所成角的计算问题会灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题1直线间的夹角包括两直线共面时的两直线的夹角和两直线异面时的异面直线的夹角，两直线的夹角范围是_；两条异面直线夹角的范围是_，其大小可以通过这两条异面直线的_的夹角来求若设两条异面直线的夹角为，它们的方向向量的夹角是，则有_或_.2二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范围是_，二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个面的_的夹角求得，二面角和两平面法向量的夹角的关系是_一、选择题1若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A30 B150C30或150 D以上均错2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为()A. B. C. D.3如果二面角l的平面角是锐角，点P到，和棱l的距离分别为2，4和4，则二面角的大小为()A45或30 B15或75C30或60 D15或604从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条夹角均为60，则二面角BPAC的余弦值是()A. B. C. D.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.6长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.题号123456答案二、填空题7若两个平面，的法向量分别是n(1,0,1)，(1，1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_8如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_9已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为_三、解答题10长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值11.在三棱锥SABC中，SABSACACB90，AC2，BC4，SB4.(1)证明：SCBC；(2)求二面角ABCS的大小能力提升12.如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值13.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的余弦值1异面直线所成的角可以利用两个向量的夹角来求2二面角可以利用立体几何方法作出二面角的平面角，然后利用几何方法或向量进行计算；也可以直接利用两个平面的法向量来求，要注意角的范围3利用向量解题，大致可以利用基底法和坐标法5夹角的计算51直线间的夹角52平面间的夹角知识梳理10，方向向量20，法向量相等或互补作业设计1A2D如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.，.，|.cos，.3B如图(1)，(2)所示，分别是P在二面角l的内部、外部时的情况因为PA，所以PAl，因为PCl，所以l面PAC，同理，l面PBC，而面PAC与面PBC有公共点，所以面PAC和面PBC应重合，即A，B，C，P在同一平面内，ACB是二面角的平面角在RtAPC中，sinACP，所以ACP30.在RtBPC中，sinBCP，所以BCP45，故ACB304575(图(1)，或ACB453015(图(2)图(1)图(2)4B在射线PA上取一点O，分别在平面PAB、PAC内作OEPA，OFPA交PB、PC于E、F，则EOF为所求二面角的平面角EOF中，令EF1，则由题意可求得，OEOF，cosEOF.5B建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，(1,1，)设平面A1DE的法向量n1(x，y，z)，则解得令z1，n1(1，1)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.6B建立坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.760解析cosn，n，120.故两平面所成的锐二面角为60.890解析建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则B，M，B1，因此，设异面直线AB1与BM所成的角为，则cos |cos，|0，90.9.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1.因为A1D平面ABC，ADBC，由AD，AA11知A1D.故A1.又A，B，cos，.又CC1AA1，cos，cos，故异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为.10解以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，E(1,2,2)，F(1,4,1)，(1,4,1)，(1，2,2)，|3，|3，1825，cos，.异面直线所成角的范围是，设AF与BE所成角为，则cos |cos，|.11(1)证明由已知SABSACACB90，以C点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,2,0)，B(4,0,0)，C(0,0,0)，S(0,2,2)，则(0，2，2)，(4,0,0)，0，SCBC.(2)解SABSAC90，SA平面ABC，(0,0,2)是平面ABC的法向量设侧面SBC的法向量为n(x，y，z)，(0，2，2)，(4,0,0)n0，n0，x0.令z1，则y，则得平面SBC的一个法向量n(0，1)，cos，n，即二面角ABCS的大小为60.12解如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，(，)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy，故可取n(1，)所以cosn，.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.13(1)证明以B为坐标原点，射线BA、BB1为x轴正半轴、y轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系设AB2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，0)又设C(1,0，c)，则(，0)，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC，又DEAB1E，CDDED.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线(2)解因为，等于异面直线AB1与CD的夹角，故|B1A|cos 45，即24.解得c，故(1,0，)又(0,2,0)，所以(1,2，)设平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，即x2yz0,2y0.令x，则z1，y0.故m(，0,1)设平面AB1C1的法向量为n(p，q，r)，则n0，n0，即p2qr0,2p2q0，令p，则q，r1.故n(，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的余弦值为.- 10 -
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