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11归纳推理1了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理(重点)2了解归纳推理在数学发展中的作用(难点)基础初探教材整理归纳推理阅读教材P53P55“练习”以上部分，完成下列问题1归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理利用归纳推理得出的结论不一定是正确的判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型,数式中的归纳推理(1)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123 D199(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN)的表达式为_.【精彩点拨】(1)记anbnf(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果【自主解答】(1)记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f1(x)f(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)(nN)【答案】(1)C(2)f3(x)fn(x)(nN)已知等式或不等式进行归纳推理的方法：(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论再练一题1应用归纳推理猜测_. 2n个1n个2【解析】n1时，有3，n2时，有33，n3时，有333；猜想：【答案】n个3,数列中的归纳推理(1)在数列an中，a11，an1，则a2 017等于()A2BC2 D1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图311: 【导学号：67720011】图311由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数【精彩点拨】(1)写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如11,312,6123；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数【自主解答】(1)a11，a2，a32，a41，数列an是周期为3的数列，2 01767231，a2 017a11.【答案】D(2)法一：由11，312，6123，101234，可归纳出第n个三角形数为123n.法二观察项数与对应项的关系特点如下：项数1234对应项分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积归纳：第n个三角形数的石子数应为.数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式再练一题2已知数列an满足a11，an12an1(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.【解】(1)当n1时，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可归纳猜想出an2n1(nN)探究共研型,几何图形中的归纳推理探究1在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，堆最底层(第一层)分别按图312所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值图312【提示】观察图形可知，f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20.探究2上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式【提示】由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；f(n)f(n1).将以上(n1)个式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n).有两种花色的正六边形地面砖，按图313的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图313A26 B31C32 D36【精彩点拨】解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论【自主解答】法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为65(61)31.【答案】B归纳推理在图形中的应用策略：通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需把形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：再练一题3根据图314中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_.图314【解析】分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形到中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1223,5233,13243,29253，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为2813509.【答案】509构建体系1(2016厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图315所示：图315按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2C6n2 D8n2【解析】a18，a214，a320，猜想an6n2.【答案】C2(2015广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A至多等于3B至多等于4C等于5 D大于5【解析】n2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能【答案】B3经计算发现下列不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.【答案】当ab20时，有1，nN)个点，每个图形总的点数记为an，则a6_，an_.图318【解析】依据图形特点可知当n6时，三角形各边上各有6个点，因此a636315.由n2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an3n3(n2，nN)【答案】153n3(n2，nN)三、解答题9已知数列an的前n项和为Sn，a11，且Sn120(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式【解】当n1时，S1a11；当n2时，2S13，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN)10已知f(x)，分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 【导学号：67720012】【解】由f(x)，得f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3).归纳猜想一般性结论为f(x)f(x1).证明如下：f(x)f(x1).能力提升1(2016西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()An1B2nC Dn2n1【解析】1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；，n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域，选C【答案】C2(2016南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第57个数对是()A(2,10) B(10,2)C(3,5) D(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n1个数对易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)【答案】A3如图319，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图319，如此继续下去，得图319，试用n表示出第n个图形的边数an_.图319【解析】观察图形可知，a13，a212，a348，故an是首项为3，公比为4的等比数列，故an34n1.【答案】34n14某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.
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