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1.3.2球的体积和表面积【选题明细表】 知识点、方法题号球的表面积、体积1、4、6、7、8、10与球有关的三视图3、11与球有关的“切”、“接”问题2、5、9基础巩固1.两个球的半径之比为23,那么这两个球的表面积之比为(B)(A)23(B)49(C)(D)827解析:设两球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,则=.故选B.2.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(B)(A)3a2(B)6a2(C)12a2(D)24a2解析:根据题意球的半径R满足(2R)2=6a2,所以S球=4R2=6a2,故选B.3.(2014南安一中高一期末)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(D)(A)9(B)10(C)11(D)12解析:由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体,其表面积S=4R2+2r2+2rh,代入数据得S=4+2+23=12.故选D.4.(2015唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1S2等于(C)(A)11(B)21(C)32(D)41解析:由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,则S1=6,S2=4.所以S1S2=32,故选C.5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4,底面边长都为2,则这个球的表面积是.解析:长方体的体对角线长为=2,球的直径是2R=2,所以R=,所以这个球的表面积S=4()2=24.答案:246.(2015河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6 cm,深为1 cm的空穴,则该球半径是 cm,表面积是 cm2.解析:设球心为O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R,则OD=R-1,则(R-1)2+32=R2,解之得R=5 cm,所以该球表面积为S=4R2=452=100(cm2).答案:5 1007.(2015大同一中高二(上)月考)如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:S球=422=8(cm2),S圆台侧=(2+5)=35(cm2),S圆台下底=52=25(cm2),即该几何体的表面积为8+35+25=68(cm2).又V圆台=(22+25+52)4=52(cm3),V半球=23=(cm3).所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52-=(cm3).能力提升8.(2014景德镇高二期末)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的表面积为(C)(A)153(B)160(C)169(D)360解析:如图,由题意得BC=5,O1A=BC=,OO1=AA1=6,则球半径r=OA=,S球=4r2=169.故选C.9.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为(A)(A)127(B)19(C)13(D)91解析:设四面体的内切球半径为r,外接球半径为R,四面体各面面积为S,则4Sr=S(R+r),解得R=3r,所以四面体的内切球和外接球的体积之比为127.故选A.10.(2015河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面半径为2,求球的体积.解:如图所示,作出轴截面,因为ABC是正三角形,所以CD=AC=2,所以AC=4,AD=4=2,因为RtAOERtACD,所以=.设OE=R,则AO=2-R,所以=,所以R=.所以V球=R3=.所以球的体积等于探究创新11.一个半径为1的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,求剩余几何体的体积和表面积.解:如图,该几何体是把球的上半部分平均分为4份后,切去相对的两部分后剩余的几何体,体积V=-=,表面积S=4-4+32=.
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