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第一章推理与证明单元检测 (时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每题5分，共40分)1观察下图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是().A BC D2数列5,13,25，x,61，中的x等于()A35 B39 C41 D533某个命题与自然数n有关，若nk(kN)时该命题成立，那么推得当nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题成立B当n6时该命题不成立C当n4时该命题成立D当n4时该命题不成立4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x1能整除xn1”的第二步假设递推过程时，正确的是()A假设当nk(kN)时命题成立，证明当nk1时命题也成立B假设当nk(k是正奇数)时命题成立，证明当nk1时命题也成立C假设当n2k1(kN)时命题成立，证明当nk1时命题也成立D假设当nk(k是正奇数)时命题成立，证明当nk2时命题也成立5为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文现在加密密钥为yloga(x2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为()A12 B13 C14 D156如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点该青蛙从5这点跳起，经2 011次跳后它将停在的点是()A1 B2 C3 D47如下图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，一直数到2 008时，对应的指头是()A食指 B中指 C无名指 D小指8如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2BD22(AB2AD2)，那么在图乙所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC12BD12CA12DB12等于()A4(AB2AD2AA12)B3(AB2AD2AA12)C2(AB2AD2AA12)D4(AB2AD2)二、填空题(每题5分，共15分)9已知数列an的通项公式an(nN)，f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是_10有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组，第一组含一个数1，第二组含两个数3,5，第三组含三个数7,9,11，第四组含有四个数13,15,17,19现观察每组内各数之和y与其组的编号数n的关系为_11已知：sin230sin290sin2150，sin25sin265sin2125.通过观察上述两等式的规律，请你归纳猜想出一般性的命题_三、解答题(每题15分，共45分)12已知：a，b，c是全不相等的正实数，求证：3.13(2012福建高考，理17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论14P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i1,2，3，n)在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点An(an,0)(nN)的横坐标an关于n的表达式并证明参考答案1. 答案：B解析：从图案的颜色和形状分析2. 答案：B解析：相邻的数字之差(后项减前项)形成的数列为：8,12，x25,61x，而612536，猜想这个新数列是4的倍数构成的，则412516,614120，刚好满足条件，所以选择C.3. 答案：D解析：利用逆否命题的等价性可知D正确4. 答案：D解析：连续的两个奇数相差2.5. 答案：B解析：由明文“6”通过加密后得到密文“3”知a2.6. 答案：A解析：记an表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a11，a22，a34，a41，a52，a64，显然an是一个周期为3的数列，故a2 011a11.7. 答案：A解析：根据每个手指头上的数的特征判断8. 答案：A解析：已知平面上平行四边形的对角线的平方和等于从同一顶点出发的两条边的平方和的2倍，利用类比推理可知，空间中，平行六面体的体对角线的平方和等于从同一顶点出发的三条棱的平方和的4倍9. 解析：f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)f(1)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)f(2)，由此猜想，f(n).10. yn3解析：n1时，113；n2时，y35823；n3时，y79112733；n4时，y131517196443.猜想：yn3.11. 答案：2(60)sin2sin2(60)12. 证明：由a，b，c是不全相等的正数，得与，与，与全不相等且均大于0，所以2，2，2，三式相加得6，即3，所以原不等式成立13. 解法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.14. 解：(1)a12，a26，a312.(2)依题意，得xn，yn，又yn23xn得 (anan1)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nN)下面用数学归纳法证明：当n1时，命题显然成立；假定当nk时命题成立，即有ank(k1)，则当nk1时，由归纳假设及(ak1ak)22(akak1)得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即ak+122(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0，解之，得ak1(k1)(k2)(ak1k(k1)ak不合题意，舍去)，即当nk1时，命题成立由知：命题成立
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