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2排序不等式1了解排序不等式，理解排序不等式的实质(重点)2能用排序不等式证明简单的问题(难点)基础初探教材整理1顺序和、乱序和、逆序和的概念阅读教材P32P34“练习”以上部分，完成下列问题设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1a2a3，b1b2b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式通常称a1b1a2b2a3b3为顺序和，a1bj1a2bj2a3bj3为乱序和，a1b3a2b2a3b1为逆序和(倒序和)填空：若mnpq，abcd，则(1)ambncpdq是_和，(2)anbqcadp是_和，(3)aqbpcndm是_和，(4)aqbmcqdn是_和【答案】(1)顺序(2)乱序(3)逆序(4)乱序教材整理2排序不等式阅读教材P32P34“练习”以上部分，完成下列问题1定理1设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbdadbc，当且仅当ab(或cd)时取“”号2定理2(排序不等式)设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，则(顺序和)a1b1a2b2anbn(乱序和)a1bj1a2bj2anbjn(逆序和)a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a1a2a3，b1b2b3，则a1bj1a2bj2a3bj3中最大值是a1b1a2b2a3b3(其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列)()(2)若ab，cd，则acbdadbc.()【答案】(1)(2)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用排序不等式证明不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2).【精彩点拨】本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力解答此题只需根据abc，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可【自主解答】(1)ab0，于是，又c0，0，从而.同理，bc0，于是.a0，0，于是得.从而.(2)由(1)知，于是由“顺序和乱序和”得，(a2b2c2，).利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序，构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组.再练一题1已知0a1a2an，求证：a1a2an. 【导学号：94910032】【证明】0a1a2an，aaa，由排序不等式知，乱序和不小于逆序和，得aaa，a1a2an.需对所证不等式中所给的字母顺序作出假设的情况已知a，b，c为正数求证：abc.【精彩点拨】解答此题需要假设abc推出a2b2c2，再利用排序不等式进行论证【自主解答】不妨设abc，则a2b2c2，.故由排序不等式，得a2b2c2a2b2c2，a2b2c2a2b2c2，()2可得abc.又a3b3c3且，由排序不等式，得a3b3c3a3b3c3，a3b3c3a3b3c3，()2可得.综上可知，abc.在利用排序不等式证明所证不等式中所给字母没有限定大小顺序时，要使用排序不等式，先要根据所给字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系，方可应用排序不等式求证.再练一题2设a1，a2，an是n个互不相同的正整数，求证：1a1.【证明】设b1，b2，bn是a1，a2，an的一个排列，且满足b1b2.由排序不等式得a1b111.探究共研型运用排序不等式求最值探究1设a1a2an，b1b2bn为两组数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？【提示】a1bna2bn2anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.探究2已知两组数a1a2a3a4a5，b1b2b3b4b5，其中a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511，将bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1a2c2a5c5的最大值和最小值分别是多少？【提示】由顺序和最大，知最大值为a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5304.由逆序和最小，知最小值为a1b5a2b4a3b3a4b2a5b1212.设a，b，c为任意正数，求的最小值【精彩点拨】由对称性，不妨设abc0，注意到1.设法构造数组，利用排序不等式求解【自主解答】不妨设abc，则abacbc，.由排序不等式得，上两式相加 ，则23，即.当且仅当abc时，取最小值.构造两个有序数组利用排序不等式验证等号是否成立.再练一题3已知x，y，z是正数，且xyz1，求t的最小值【解】不妨设xyz0，则x2y2z2，.由排序不等式，乱序和逆序和得，x2y2z2xyz，又xyz1，1.当且仅当xyz时，等号成立故t的最小值为1.构建体系1已知xy，Mx4y4，Nx3yy3x，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMQBPQCP0，a2b2c20， 由排序不等式得：a2ab2bc2ca2bb2cc2a.PQ.【答案】B3已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值是_. 【导学号：94910033】【解析】由排序不等式，顺序和最大，逆序和最小，最大值为14253632，最小值为16253428.【答案】32284设正数a1，a2，an的任一排列为a1，a2，an，则的最小值为_【解析】取两组数a1，a2，an；，其反序和为n，则由乱序和不小于反序和知n，的最小值为n.【答案】n5已知a，b，c为正数，求证：abc.【证明】不妨设abc0，则0，abacbc0.由排序不等式，得acbcababc.当且仅当abc时等号成立故abc.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a1，a2，a3，则的最小值为()A3B6C9D12【解析】由题意，不妨设a1a2a30，则0，3，当且仅当a1a2a3时等号成立【答案】A2设a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，Pababab，Qa1a2an，则P与Q的大小关系是()APQBPQCP0，可知aaa，aaa.由排序不等式，得abababaaaaaa，即abababa1a2an.PQ，当且仅当a1a2an0时等号成立【答案】D3某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花_元，至多花_元()A20,23B19,25C21,23D19,24【解析】单价大小排列为3,2,1，待买礼品数量排列为5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是顺序和35241225，最小值是逆序和32241519.【答案】B4设a1，a2，a3为正数，则与a1a2a3大小关系为()ABC0，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3.【答案】B5a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，则a1ba2banb的最小值是()A1BnCn2D无法确定 【解析】设a1a2an0.可知aaa，由排序原理，得a1ba2banba1aa2aanan.【答案】B二、填空题6设ab0，则a3b3与a2bab2的大小关系是_【解析】ab0，a2b20，因此a3b3a2bab2(排序不等式)【答案】a3b3a2bab27有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_ s.【解析】等候的最短时间为：3443527141(s)【答案】418若a0，b0且ab1，则的最小值是_. 【导学号：94910034】【解析】不妨设ab0，则有a2b2，且.由排序不等式得a2b2ab1，当且仅当ab时，等号成立的最小值为1.【答案】1三、解答题9设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.【证明】由对称性，不妨设abc0，于是a12b12c12，故由排序不等式：顺序和乱序和，得.又因为a11b11c11，.再次由排序不等式：逆序和乱序和，得.所以由，得a10b10c10.10已知0(sin 2sin 2sin 2)【证明】0，且ysin x在为增函数，ycos x在为减函数，0sin sin cos cos 0.根据排序不等式得：乱序和逆序和又本题中等号不可能取到，sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)能力提升1已知a，b，c为正数，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零B大于等于零C小于零D小于等于零【解析】设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab，所以a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.【答案】B2锐角三角形中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的关系为()APQBPQCPQD不能确定【解析】不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.【答案】C3设a，b，c是正数，则aabbcc_(abc).【解析】不妨设abc0，则lg alg blg c，据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，以上两式相加，再两边同加alg ablg bclg c，整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc)，故aabbcc(abc) .【答案】4设a，b，c大于0，求证：(1)a3b3ab(ab)；(2).【证明】(1)不妨设abc0，则a2b2c20，a3b3a2ab2ba2bb2a，a3b3ab(ab)(2)由(1)知，同理b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)所以.故原不等式得证
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