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第37练函数与方程思想思想方法解读1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法2函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决体验高考1(2015湖南)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_答案(，0)(1，)解析函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若aa时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点若0a1，则a3a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点若a1，则a3a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点综上，a1.2(2015安徽)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.答案解析令f(x)x3axb，f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当a0时，由于选项当中a3，只考虑a3这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要有一根，f(x)极大0，b2，正确，错误所有正确条件为.3(2016课标全国甲)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)等于()A0 Bm C2m D4m答案B解析方法一特殊函数法，根据f(x)2f(x)可设函数f(x)x1，由y，解得两个点的坐标为此时m2，所以(xiyi)m，故选B.方法二由题设得(f(x)f(x)1，点(x，f(x)与点(x，f(x)关于点(0,1)对称，则yf(x)的图象关于点(0,1)对称又y1，x0的图象也关于点(0,1)对称则交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对，且关于点(0,1)对称则(xi，yi)ii02m，故选B.高考必会题型题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1(2016天津)已知函数f(x) (a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析由yloga(x1)1在0，)上递减，得0a2，即a时，由x2(4a3)x3a2x(其中x0)，得x2(4a2)x3a20(其中xf(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为()A(，0) B(0，)C(，2) D(2，)答案B解析构造函数g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减又g(0)1，所以1，即g(x)0，所以不等式的解集为(0，)故选B.点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数变式训练2已知f(x)log2x，x2,16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2mx42m4x恒成立的实数x的取值范围为()A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)答案D解析x2,16，f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20恒成立，设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在1,4上恒大于0，所以即解得x2.题型三函数与方程思想在数列中的应用例3已知数列an是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a41成等比数列，设bn(其中Sn是数列an的前n项和)，若对任意nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.因为Snn(n1)，bn.令f(x)2x (x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.点评数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式第三步：研究函数性质结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步：回归问题结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题变式训练3设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，则()ASn的最大值是S8BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7DSn的最小值是S7答案D解析由条件得，即，所以anan1，所以等差数列an为递增数列又1，所以a80，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.题型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围解(1)设椭圆C的方程为1 (ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21，即y22x21.(2)当直线l的斜率不存在时，也满足3，此时m.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm (k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3，所以x13x2，所以则3(x1x2)24x1x20，即3240，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)2m220，当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20，解得1m或m0或0中，即可求出目标参数的取值范围第五步：回顾反思在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节变式训练4已知点F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，点P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.高考题型精练1关于x的方程3xa22a，在(，1上有解，则实数a的取值范围是()A2，1)(0,1B3，2)0,1C3，2)(0,1D2，1)0,1答案C解析当x(，1时，3x(0,3，要使3xa22a有解，a22a的值域必须为(0,3，即00，F(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增，F(x)的最小值为F(1)1，所以a1，故选D.3已知f(x)x24x4，f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，fn(x)f(fn1(x)，函数yfn(x)的零点个数记为an，则an等于()A2nB2n1C2n1D2n或2n1答案B解析f1(x)x24x4(x2)2，有1个零点2，由f2(x)0可得f1(x)2，则x2或x2，即yf2(x)有2个零点，由f3(x)0可得f2(x)2或2，则(x2)22或(x2)22，即yf3(x)有4个零点，以此类推可知，yfn(x)的零点个数an2n1.故选B.4已知函数f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若对任意x1(0,2)，x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则实数b的取值范围为_答案解析问题等价于f(x)ming(x)max.f(x)ln xx1，所以f(x)，令f(x)0得x24x30，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x)minf(1).由于函数g(x)x22bx4，x1,2当b2时，g(x)maxg(2)4b8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b1，解第二个不等式组得1b，第三个不等式组无解综上所述，b的取值范围是.5满足条件AB2，ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_答案2解析可设BCx，则ACx，根据面积公式得SABCx，由余弦定理计算得cos B，代入上式得SABCx.由得22x，则(0,1)，(1，)，若函数yf(x)在(e，)内有异号零点，即y(x)在(e，)内有异号零点，所以e，又(0)10，所以(e)e2(2a)e1e2，所以实数a的取值范围是(e2，)8已知f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围解(1)f(x)exax1(xR)，f(x)exa.令f(x)0，得exa，当a0时，f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(ln a，)(2)由(1)知f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0恒成立，即aex在R上恒成立当xR时，ex0，a0，即a的取值范围是(，09已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得b.所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d.由，解得k1.所以k的值为1或1.10已知等比数列an满足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式(2)若bnanlog2，Snb1b2bn，求使Sn2n1470成立的正整数n的最小值解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意，有即由得q23q20，解得q1或q2.当q1时，不合题意舍去；当q2时，代入得a12，所以an22n12n.(2)bnanlog22nlog22nn.所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因为Sn2n1470，所以2n12nn22n1470，解得n9或n10.因为nN*，故使Sn2n1470成立的正整数n的最小值为10.13
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