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16.3角平分线,生活中有很多数学问题：小明家居住在一栋居民楼的一楼，刚好位于一条自来水管和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与自来水管道和天然气管道相连.问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看.,自来水,天然气,创设情境,探索,角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。,O,B,情境问题,什么叫做角平分线？,c,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,折叠法,你有哪些方法可以找到角平分线？,一、探索作已知角的平分线的方法,一、探索作已知角的平分线的方法,度量法可以用量角器来画一个角的平分线,工人师傅常用如图所示的简易角平分仪（有两对边相等），来画角的平分线.将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为BAD的平分线.你能说明它的道理吗?,A,D,B,C,E,探索作已知角的平分线的方法,证明：在ACD和ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）ACDACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的对应边相等）AC平分DAB（角平分线的定义）,探索作已知角的平分线的方法,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,O,探究新知,N,O,M,C,E,角平分线的画法：,（）分别以M，N为圆心大于MN一半的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于C,（3）作射线OC，则射线OC即为所要求的AOB的角平分线.你也来试一试！,A,B,()以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N,探索作已知角的平分线的方法,想一想：为什么OC是角平分线呢？,已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分AOB.,证明：连接CM，CN在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，OMCONC（SSS）MOC=NOC即：OC平分AOB,A,B,探索作已知角的平分线的方法,想一想：你会平分一个平角吗？此时它的角平分线和角的一边有什么关系？,1平分平角AOB2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,实践应用(1),老师：大家拿出之前折叠的角，再折叠一次使,探究角平分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,探究角平分线的性质,你能写出你猜想的题设和结论，并能证明你的猜想吗？,探究角平分线的性质,证明：OC平分AOB（已知）1=2（角平分线的定义）PDOA，PEOB（已知）PDO=PEO（垂直的定义）在PDO和PEO中PDO=PEO（已证）1=2（已证）OP=OP（公共边）PDOPEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE,(3)验证猜想:,角平分线上的点到角两边的距离相等。,(4)得到角平分线的性质：,判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PEOA，PFOB，则PE=PF.（2）如图2，P是AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.,图1,（3）如图3，在AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.,4.实践与应用,运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题：问题：引例中两条管道的长度有什么关系？理由是什么？,自来水,天然气,例题讲解例1如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F.求证：EB=FC.,A,F,C,D,B,E,变题1：如图，ABC中，AD是BAC的平分线，C90，DEAB于E，F在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.,变题2：如图，ABC中，AD是BAC的平分线，C90，DEAB于E，BC=8，BD=5，求DE.,谢谢,
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