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第二十二章二次函数,22.1二次函数的图像和性质,第8课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(三),课前预习,A.用待定系数法求二次函数的解析式的三种方法:(1)已知任意三个点的坐标,可选择一般式_;(2)已知抛物线的顶点和另外一个点的坐标,可选择顶点式_;(3)已知抛物线与x轴的两个交点和另外一个点的坐标,可选择交点式_.,y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k,y=a(x-x1)(x-x2),课前预习,1.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(3,2),则m的值为_.2.某二次函数的图象的顶点坐标为(4,-1),且它的形状、开口方向与抛物线y=-x2相同,则这个二次函数的解析式为_.3.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,2),B(1,0),则b=_,c=_.,-10,y=-(x-4)2-1,-3,2,课堂讲练,典型例题,知识点1:二次函数解析式y=ax2+bx+c的确定方法【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=0时,y=1;当x=-1时,y=6;当x=1时,y=0,求这个二次函数的解析式.,解:根据题意,得c=1,ab+c=6,a+b+c=0.解得a=2,b=3,c=1.所以二次函数的解析式为y=2x2-3x+1.,课堂讲练,知识点2:二次函数解析式y=a(x-h)2+k的确定方法【例2】已知二次函数图象过点(4,-3),并且当x=3时y有最大值4,求这个二次函数的解析式.,解:设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+4.函数图象过点(4,-3),-3=a(4-3)2+4.解得a=-7.该函数的解析式为y=-7(x-3)2+4.,课堂讲练,知识点3:二次函数解析式y=a(x-x1)(x-x2)的确定方法【例3】已知抛物线过三点A(-1,0),B(4,0),C(0,-2),求抛物线的解析式与顶点D的坐标.,课堂讲练,解:抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),设函数的解析式为y=a(x+1)(x4).又抛物线经过点C(0,2),2=a(0+1)(04).解得a=.经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=(x+1)(x4).y=(x+1)(x4)=,顶点D,课堂讲练,1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,求二次函数的解析式.,举一反三,解:二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,4a+2b+c=0,c=-1,16a+4b+c=5.解得a=,b=-,c=-1.二次函数的解析式为y=x2-x-1.,课堂讲练,2.已知二次函数的图象以点A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).求该函数的关系式.,解:由顶点A(-1,4),可设二次函数的关系式为y=a(x+1)2+4.二次函数的图象过点B(2,-5),-5=a(2+1)2+4.解得a=-1.二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4.,课堂讲练,3.一个二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图22-1-9所示,已知图象与x轴分别交于点(-1,0),(3,0)与y轴交于点(0,-3),求这个二次函数的表达式.,解:根据图象可知抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),则可设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).将点(0,-3)代入,得-3a=-3.解得a=1.二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.,分层训练,【A组】,1.已知抛物线y=ax2经过点(1,5),则其解析式为_.2.抛物线y=ax2+c经过A(0,-3),B(2,0)两点,则抛物线的函数解析式为_.3.抛物线的顶点在坐标原点,并且经过点(-1,1),则抛物线的函数解析式为_.,y=5x2,y=x2,y=x2-3,分层训练,4.某抛物线的顶点坐标为(-2,-1),开口方向、形状与抛物线y=3x2相同,则此抛物线的解析式是_.5.如图22-1-10,经过点C(0,-4)的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于A(-2,0),B两点.若该抛物线关于直线x=2对称,求抛物线的函数表达式.,y=3(x+2)2-1,分层训练,解:直线x=2是对称轴,A(-2,0),B(6,0).点C(0,-4),将A,B,C的坐标分别代入y=ax2+bx+c,解得a=,b=-,c=-4.抛物线的函数表达式为y=x2-x-4.,分层训练,6.抛物线的图象如图22-1-11,求这条抛物线的解析式.,解:由图象可知抛物线的顶点坐标为(1,4).设该抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4.把点(3,0)代入解析式,得0=4a+4.解得a=-1.所以该抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4.,分层训练,【B组】,7.抛物线过点(0,1),(-2,0),(3,0),若用交点式求其解析式,则可设为_.8.已知抛物线经过点A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点,求抛物线的解析式.,y=a(x+2)(x-3),分层训练,解:设抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-2).将A(-2,-4)代入,得a(-2-0)(-2-2)=-4.解得a=.抛物线的解析式为y=(x-0)(x-2),即y=x(x-2).,分层训练,9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标;(2)直接写出当y0时,x的取值范围.,分层训练,解:(1)由表,得抛物线y=ax2+bx+c过点(0,6),c=6.抛物线y=ax2+bx+6过点(-1,4)和(1,6),二次函数的解析式为y=-x2+x+6.抛物线y=ax2+bx+c过点(0,6)和(1,6),抛物线的对称轴为直线x=.当x=时,y=,抛物线的顶点坐标为(2)当y0时,x的取值范围是x-2或x3.,分层训练,【C组】,10.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图22-1-12).(1)写出A,B,C,D及AD的中点E的坐标;(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴,并且经过点B,C的抛物线的解析式.,分层训练,解:(1)A(0,1),B(0,-1),C(4,-1),D(4,1),E(2,1).(2)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1.抛物线经过点B(0,-1),a(0-2)2+1=-1.解得a=.抛物线的解析式为y=(x-2)2+1.经验证,抛物线y=(x-2)2+1经过点C(4,-1).,
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