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平面向量的概念及其线性运算(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()A.若a与b都是单位向量,则a=bB.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0,则|a|=|b|D.若a-b=0,则a与b是相反向量【解析】选C.因为向量相等必须满足模相等且方向相同,所以A不正确;因为0的方向是任意的,当a=b=0时,B不正确;因为a+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故C正确;因为a-b=0,所以a=b,a与b不是相反向量,故D不正确.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视了0方向的任意性.2.(2016汉中模拟)已知点D是ABC的边AB的中点,则向量等于()A.-+B.-C.-D.+【解析】选A.因为点D是AB的中点,所以=+=+=-+.【加固训练】如图,正六边形ABCDEF中,+=()A.0B.C.D.【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形,所以+=+=+=,故选D.3.(2016长沙模拟)已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点,若=(1+)-,其中R,则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【解题提示】利用三角形法则,对向量等式=(1+)-进行转化,从而把已知向量等式化简,最后利用向量的共线定理,即可判断点P的位置.【解析】选C.因为=(1+)-,所以-=(-),所以=,所以B,D,P三点共线,因此点P一定在BD边所在的直线上.4.(2016石家庄模拟)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0 B.a=b C.a与b共线反向 D.存在正实数,使a=b【解析】选D.因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.则a与b共线同向,故D正确.【加固训练】1.已知下列结论已知a是非零向量,R,则a与2a方向相同已知a是非零向量,R,则|a|=|a|若R,则a与a共线若a与b共线,则存在R,使a=b其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.4【解析】选B.对于,当=0时,2a是零向量,0的方向是任意的,所以不正确;对于,0时,结论不成立,即不正确;对于,不论是否为零,或a是否为0,a与a都共线,所以正确;对于,当a0,b=0时,结论不正确.2.(2016淮南模拟)在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,nR),则的值为()A.-2B.-C.2D.【解析】选A.如图.设=a,=b,则=ma+nb,=-=b-a,由向量与共线可知存在实数,使得=,即ma+nb=b-a,又a与b不共线,则所以=-2.【一题多解】本题还可采用如下解法:选A.如图,因为E是AD的中点,EFABFC,所以=.所以=(-)=(-)=-.又因为=m+n,与不共线,所以m=,n=-,=-2.5.已知D为ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3,则ABM与ABC的面积比为()A.B.C.D.【解题提示】只要结合图形,明确DM与DC之比即可,故利用已知转化为与之间的关系.【解析】选C.如图,由5=+3得2=2+3-3,即2(-)=3(-),即2=3,故=,故ABM与ABC同底且高的比为35,故SABMSABC=35.【加固训练】设O在ABC的内部,D为AB的中点,且+2=0,则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.因为D为AB的中点,则=(+),又+2=0,所以=-,所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点,所以SAOC=SADC=SABC,则=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016郑州模拟)在ABCD中,=a,=b,3=,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)【解析】如图所示.=+=+=+(+)=+(+)=b-a-b=-a-b.答案:-a-b【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)尽可能将向量转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则或三角形法则进行求解.(2)要注意平面几何知识的综合运用,如利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用基底向量表示.【加固训练】在ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=.【解析】如图,因为在ABC中,=c,=b,且点D满足=2,所以+=2(+),=+=b+c.答案:b+c7.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足+=0,=,则实数的值为.【解析】如图,由+=0,得=+,因为=,D是BC边的中点,所以+=2,=2,=-2,故=-2.答案:-28.在ABC中,已知D是AB边上一点,=+,则实数=.【解题提示】结合图形根据向量加法的平行四边形法则作图利用相似三角形求解.【解析】如图,D是AB边上一点,过点D作DEBC,交AC于点E,过点D作DFAC,交BC于点F,连接CD,则=+.因为=+,所以=,=.由ADEABC,得=,所以=,故=.答案:【一题多解】解答本题还可用如下解法:如图,设=x,因为=-,所以=x(-),=+=+x(-)=x+(1-x),又因为=+,所以+=x+(1-x).因为与不共线,所以即=.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016太原模拟)在ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为()A.B.C.1D.3【解析】选B.如图所示.设=,则=+=+=+(-)=+(-)=(1-)+,因为=,所以=,所以1-=,所以m=.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.如图,因为=,所以=,=m+=m+,因为B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m=.2.(5分)O是ABC所在平面外一点且满足=+(+),为实数,则动点P的轨迹必经过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【解题提示】明确与是,方向上的单位向量,利用平行四边形法则可转化为与+共线后可解.【解析】选B.如图,设=,=,已知,均为单位向量,故AEDF为菱形,所以AD平分BAC,由=+得=,又与有公共点A,故A,D,P三点共线,所以P点在BAC的平分线上,故动点P的轨迹经过ABC的内心.【加固训练】已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,动点P满足=(+2),则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点【解析】选B.设AB的中点为M,则+=,所以=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,又与有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.3.(5分)已知点D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正确命题的序号为.【解析】=a,=b,=+=-a-b,故错;=+=a+b,故正确;=(+)=(-a+b)=-a+b,故正确;+=-b-a+a+b+b-a=0.故正确.答案:4.(12分)已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设tR,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.【解析】由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b,因为a,b不共线,所以有解之得t=.故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.5.(13分)(2016衡阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,求实数m的值.【解析】由N是OD的中点得=+=+(+)=+,又因为A,N,E三点共线,故=,即m+=,所以解得故实数m=.【加固训练】已知ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+a+b,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.【解析】依题意,由=+a+b,得-=(a+b),即=(+).如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则=,所以A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹与BC的交点为BC的中点,即点M为BC的中点.- 10 -
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