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课时提升作业 五十九 圆锥曲线的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知点F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)为椭圆上一点,则点P到两焦点距离之积的最大值是()A.8B.2C.10D.4【解析】选A.设椭圆长半轴的长为a,则a2=8,因为=a2=8(当且仅当=时取等号)2.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.【解析】选C.设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意得=(2t)2-5(t2-1)0,即t25.弦长|AB|=4.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】选C.因为y2=8x,所以Q(-2,0),设过Q点的直线l方程为y=k(x+2).l与抛物线有公共点,联立得方程组整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点,当k0时,=(4k2-8)2-16k40,即0k21.又因为k=0符合题意,所以-1k1.4.P是双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解题提示】注意两圆圆心的坐标是双曲线的焦点,利用双曲线的定义即可解决.【解析】选D.设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,易知(|PM|-|PN|)max=(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=23+3=9.5.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.只有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选D.设点A(x1,y1),B(x2,y2).因为A,B两点到直线x=-2的距离之和等于5,所以x1+2+x2+2=5.所以x1+x2=1.由抛物线的定义得|AB|=x1+1+x2+1=3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦ABx轴时,是最小焦点弦)为4,所以不存在满足条件的直线.【误区警示】解答本题易出现以下错误:由于忽略焦点弦的最小值,从而导致错误结论.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016邯郸模拟)如图所示,正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.【解析】由题意可得C,F,将C,F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中,得因为a0,b0,p0,两式相比消去p得=,化简整理得a2+2ab-b2=0.此式可看作是关于a的一元二次方程,由求根公式得a=(-1)b,取a=(-1)b,从而=+1.答案:+17.若双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则的最小值为.【解析】由题意,=,所以b=a,所以c=2a,e=2,=+(当且仅当a=2时取等号),则的最小值为.答案:8.(2016 衡水模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线的离心率为.【解析】设A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线-=1的交点,所以由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,所以B(-x1,-y1),所以k1k2=.因为点A,C都在双曲线上,所以-=1,-=1,两式相减,可得k1k2=0,对于+ln|k1|+ln|k2|=+ln|k1k2|,函数y=+lnx(x0),由y=-+=0,得x=0(舍)或x=2,x2时,y0,0x2时,y0)取得最小值,所以当+ln(k1k2)最小时,k1k2=2,所以e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016唐山模拟)已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点,且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若A,B是椭圆E的左、右端点,O为原点,P是椭圆E上异于A,B的任意一点,直线AP,BP分别交y轴于点M,N,问是否为定值,说明理由.【解析】(1)由抛物线y2=12x,得焦点为(3,0),由已知可知椭圆的焦点在x轴,且a=3,又a-c=1,则c=2,所以b2=a2-c2=5,故椭圆E的方程为+=1;(2)设P(x0,y0),则5+9=45,且A(-3,0),B(3,0),又直线PA:y=(x+3),直线PB:y=(x-3),令x=0,得:=,=,故=5为定值.【加固训练】(2015陕西高考)如图,椭圆E:+=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程.(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.【解题提示】(1)先由已知求出椭圆长半轴长,进而得出椭圆的标准方程.(2)将直线方程代入椭圆方程,得两根之和与两根之积与k的关系式,将之代入直线AP与AQ的斜率之和整理式消k后得证.【解析】(1)由题意知=,b=1,综合a2=b2+c2,解得a=,所以,椭圆的方程为+y2=1.(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=,x1x2=,从而直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.10.(2016深圳模拟)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值.(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率的取值范围.【解析】(1)由已知得,F1(-,0),F2(,0),设点P(x,y),则+y2=1,且-2x2.所以=(-x,-y)(-x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-=x2-2,当x=0,即P(0,1)时,()min=-2;当x=2,即P(2,0)时,()max=1.(2)由题意可知,过点M(0,2)的直线l的斜率存在.设l的方程为y=kx+2,由消去y,化简整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,=(16k)2-48(1+4k2)0,解得k2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,又AOB为锐角,所以0,即x1x2+y1y20,即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+40,所以(1+k2)-2k+40,解得k24,所以k20,所以m4.2.(5分)(2016邯郸模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,则|OA|2+|OB|2(O为坐标原点)的最小值为()A.4B.8C.10D.12【解析】选C.当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,方程为x=1,则A(1,2),B(1,-2),|OA|2+|OB|2=5+5=10.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,|OA|2+|OB|2=+=+4x1+4x2=(x1+x2)2-2x1x2+4(x1+x2)=-2+4设=t,则t2,|OA|2+|OB|2=t2+4t-2=(t+2)2-6(t2),所以|OA|2+|OB|210.综上可知:|OA|2+|OB|2的最小值为10.3.(5分)已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且=0(O为原点),则-的值为.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意得则(b-a)x2+2ax-a-ab=0.所以x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2,根据=0,得x1x2+y1y2=0,得1-(x1+x2)+2x1x2=0,因此1+2=0,化简得=2,即-=2.答案:24.(12分)已知椭圆C1:+y2=1(a1)的长轴、短轴、焦距分别为A1A2,B1B2,F1F2,且|F1F2|2是与|B1B2|2的等差中项.(1)求椭圆C1的方程.(2)若曲线C2的方程为(x-t)2+y2=(t2+t)2,过椭圆C1左顶点的直线l与曲线C2相切,求直线l被椭圆C1截得的线段长的最小值.【解析】(1)由题意得|B1B2|=2b=2,|A1A2|=2a,|F1F2|=2c,a2-b2=c2,又2(2c)2=(2a)2+22,解得a2=3,c2=2,故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为A1(-,0),易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+).由直线l与曲线C2相切得=(t+)t,整理得=t.又因为0t,所以0,解得0k21.联立消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+9k2-3=0.直线l被椭圆C1截得的线段一端点为A1(-,0),设另一端点为B,解方程可得点B的坐标为,所以|A1B|=.令m=(1m),则|A1B|=.由函数y=3m-的性质知y=3m-在区间(1,上是增函数,所以当m=时,y=3m-取得最大值2,从而|A1B|min=.5.(13分)(2016临汾模拟)如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,分别以HF,EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知=,=,其中0b0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示).(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得OQM=ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)椭圆+=1(ab0)过P(0,1),所以b2=1,离心率e=,所以a=,所以椭圆方程为+y2=1.因为P(0,1),A(m,n),所以直线PA的方程为y-1=x,直线PA与x轴交于M,令y=0,则xM=,所以M.(2)因为P(0,1),B(m,-n),所以直线PB的方程为y-1=x,直线PB与x轴交于N,令y=0,则xN=,所以N.设Q(0,y0),tanOQM=,tanONQ=,因为OQM=ONQ,所以tanOQM=tanONQ,所以=.所以=2,所以y0=.因此,存在点Q(0,),使OQM=ONQ.- 12 -
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