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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016石家庄模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6B.7C.8D.23【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5).将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,所以z最小值=7.2.(2015天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为()A.3B.4C.18D.40【解析】选C.如图所示,x+2=0与x-y+3=0的交点为(-2,1),x+2=0与2x+y-3=0的交点为(-2,7),x-y+3=0和2x+y-3=0与y轴的交点为(0,3).所以当动直线z=x+6y经过(0,3)时,z取到最大值.zmax=0+63=18.3.平面区域的面积是()A.B.C.D.【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图,则区域是圆心角为的扇形,故面积是2=.4.(2016太原模拟)点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,则m2+n2的取值范围是()A.1,4B.2,4C.1,3D.2,3【解析】选A.由题意可得:该不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,所以m2+n2=(m-0)2+(n-0)2,表示点(n,m)到原点(0,0)的距离的平方,所以m2+n21,4.5.(2016武汉模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是()A.B.C.1-D.1-【解析】选C.画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图.ABC的面积为S1=34=6,S2=,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-=1-.【加固训练】1.(2015南昌模拟)若关于x,y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.1B.2C.3D.-1【解析】选C.当a0时,显然不合题意;当a0时,不等式组所围成的区域如图所示.因为其面积为2,所以|AC|=4,所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.2.变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()A.-3,0B.3,-1C.0,1D.-3,0,1【解析】选B.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016日照模拟)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.【解析】平面区域A如图所示,所求面积为S=22-=2-=.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.【解析】如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,原点O到直线x+y-2=0的垂线段长是|OM|的最小值,所以|OM|min=.答案:【加固训练】设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最小,d=,故最小距离为.答案:8.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为元.【解析】设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则目标函数z=450x+350y,画出可行域如图阴影部分的整点,当目标函数所在直线经过A(7,5)时,利润最大,为4900元.答案:4900(15分钟30分)1.(5分)(2015郑州模拟)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4,则z=ax+y的最大值为()A.4B.6C.8D.12【解析】选B.由题意知a0,如图,不等式组对应的平面区域为OBC,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以OBC的面积为a2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线截距最大,此时z也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=22+2=6.2.(5分)(2016郑州模拟)设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()A.-3B.-6C.3D.6【解析】选B.可行域如图:由得A(k,k),目标函数z=x+y在x=k,y=k时取最大值,即直线z=x+y在y轴上的截距z最大,此时12=k+k,故k=6,所以得B(-12,6),目标函数z=x+y在x=-12,y=6时取最小值,此时,z的最小值为z=-12+6=-6,故选B.3.(5分)(2016通化模拟)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.【解析】因为=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a0,所以作出可行域,如图,由题意可知的最小值是,即=,解得a=1.答案:14.(15分)铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表.ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,求购买铁矿石的最少费用为多少百万元?【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,总费用为z百万元.根据题意,得整理,得线性目标函数为z=3x+6y,画出可行域如图中阴影部分所示.当x=1,y=2时,z取得最小值.所以zmin=31+62=15(百万元).故购买铁矿石的最少费用为15百万元.【加固训练】变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值.(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z=,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.故z的取值范围是2,29.(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4,dmax=8.故z的取值范围是16,64.- 9 -
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