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第二十一章一元二次方程,本章知识梳理,考纲要求,1.理解配方法，会用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个根之间是否相等.3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.,知识梳理,知识梳理,知识梳理,知识梳理,考点1一元二次方程及其相关概念,一、一元二次方程的定义1.下列方程为一元二次方程的是（）A.x=2y-3B.+1=3C.x2+3x-1=x2+1D.x2=02.若关于x的方程ax2-3x=2x2-2是一元二次方程，则a的值不能为（）A.2B.-2C.0D.3,D,A,考点1一元二次方程及其相关概念,二、一元二次方程的一般形式3.方程2x2-6x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.6,2,5B.2,-6,5C.2，-6,-5D.-2，6，54.方程（m-2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m2B.m=2C.m=-2D.m2,D,C,考点1一元二次方程及其相关概念,5.关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-5m+4=0，常数项为0，则m的值等于（）A.1B.4C.1或4D.06.将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式为（）A.3x2-4x+2=0B.3x2-4x-2=0C.3x2+4x+2=0D.3x2+4x-2=0,A,B,考点1一元二次方程及其相关概念,7.方程x2-3x+1=0的二次项系数是_；一次项系数是_；常数项是_.8.把方程x（4-5x）+1=2化为一般形式，如果二次项系数为5，则一次项系数为_.9.关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值.,解：由题意，得m2+3m+2=0，且m+10.解得m=-2.,-4,1,-3,1,考点1一元二次方程及其相关概念,三、一元二次方程的解10.（2017广东）如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A.1B.2C.-1D.-211.关于x的一元二次方程ax2+bx=6的一个根为x=2，则代数式4a+2b的值是（）A.3B.6C.10D.12,B,B,考点1一元二次方程及其相关概念,12.（2017菏泽）关于x的一元二次方程（k-1）x2+6x+k2-k=0的一个根是0，则k的值是_.13.已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-x+a2-2a-2=0有一个根是1，求a的值.,解：将x=1代入原方程，得（a+1）-1+a2-2a-2=0.解得a1=-1，a2=2.a+10，a-1.a=2.,0,考点1一元二次方程及其相关概念,14.已知实数a是方程x2+4x+1=0的根.（1）计算2a2+8a+2017的值；（2）计算1-a-的值.,解：（1）实数a是方程x2+4x+1=0的根，a2+4a+1=0.2a2+8a+2=0，即2a2+8a=-2.2a2+8a+2017=2015.（2）1-a-=1-a2+4a+1=0，a2+1=-4a.1-a-=1-=5.,考点2一元二次方程的解法,一、直接开平方法1.方程（x+2）2=1的根是_.二、配方法2.（2017泰安）一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为（）A.（x-3）2=15B.（x-3）2=3C.（x+3）2=15D.（x+3）2=33.把x2+6x+5=0化成（x+m）2=k的形式为_.,x1=-1，x2=-3,（x+3）2=4,A,考点2一元二次方程的解,4.用配方法解下列方程：（1）x2-2x-4=0；（2）9y2-18y-4=0.,解：（1）移项，得x2-2x=4.配方，得（x-1）2=5.x=1.x1=1+，x2=1.（2）方程变形，得y2-2y=配方，得y2-2y+1=,即（y-1）2=.开方，得y-1=.y1=1+,y2=1-.,考点2一元二次方程的解,三、公式法5.用公式法解方程x2-x=2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（）A.a=1，b=1，c=2B.a=1，b=-1，c=-2C.a=1，b=1，c=-2D.a=1，b=-1，c=2,B,考点2一元二次方程的解,6.用公式法解下列方程：（1）x2-3x-1=0；（2）x2+4x-2=0.,解：（1）a=1，b=-3，c=-1，b2-4ac=9+4=13.x=x1=，x2=（2）a=1,b=4,c=-2,b2-4ac=16+8=24.x=x1=-2+,x2=-2-.,考点2一元二次方程的解,四、因式分解法7.方程x2-8x=0的根是（）A.x1=x2=0B.x1=x2=8C.x1=0，x2=8D.x1=0，x2=-88.（2017德州）方程3x（x-1）=2（x-1）的根为_.,x1=1,x2=,C,考点2一元二次方程的解,五、解法综合9.用适当的方法解下列方程：（1）x2-2x-8=0；（2）2x（x-3）=x-3.,解：（1）（公式法）a=1,b=-2,c=-8,b2-4ac=4+32=36.x=x1=4,x2=-2.（2）（因式分解法）原方程变形为（2x-1）（x-3）=0.由此可得（2x-1）=0,或x-3=0.解得x1=,x2=3.,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程3x2+4x-2=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根,C,2.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程的根一定是正数D.方程没有实数根,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,D,3.（2017锦州）关于x的一元二次方程x2+4kx-1=0根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,A,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,4.若关于x的一元二次方程kx2-4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k=4B.k4C.k4且k0D.k45.（2017攀枝花）关于x的一元二次方程（m-1）x2-2x-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A.m0B.m0C.m0且m1D.m0且m1,C,C,6.（2017怀化）若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1x2的值是（）A.2B.-2C.4D.-3,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,D,二、根与系数的关系7.（2017济南）关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（）A.-6B.-3C.3D.68.（2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A.2B.0C.1D.2或0,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,B,B,9.（2017江西）已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是（）A.x1+x2=B.x1x2=1C.x1，x2都是有理数D.x1，x2都是正数,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,D,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,10.设x1，x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）（x1-3）（x2-3）；（2）,解：x1，x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，x1+x2=3，x1x2=（1）（x1-3）（x2-3）=x1x2-3（x1+x2）+9=-9+9=（2）,11.已知关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+2=0.（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1,x2，且满足=10，求实数m的值.,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,解：（1）方程x2-2（m+1）x+m2+2=0有实数根，=-2（m+1）2-4（m2+2）=8m-40.解得m,考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,（2）方程x2-2（m+1）x+m2+2=0的两实数根分别为x1,x2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+2.=（x1+x2）2-2x1x2=2（m+1）2-2（m2+2）=2m2+8m=10.解得m1=-5（不符题意，舍去），m2=1.实数m的值为1.,考点4实际问题与一元二次方程,一、平均变化率问题1.（2017宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，据题意可列方程为_.2.（2017桂林）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元.,50（1-x）2=32,考点4实际问题与一元二次方程,（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？,考点4实际问题与一元二次方程,解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x.根据题意,得5000（1+x）2=7200.解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符题意，舍去）.答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.,考点4实际问题与一元二次方程,（2）2018年投入基础教育经费为7200（1+20%）=8640（万元）.设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500-m）台.根据题意,得3500m+2000（1500-m）864000005%.解得m880.答：2018年最多可购买电脑880台.,考点4实际问题与一元二次方程,二、面积问题3.用10m长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6m2.若设它的一条边长为xm，则根据题意可列出关于x的方程为_.4.如图M21-1，用长为80m的竹篱笆围一个面积为750m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45m），另三边用竹篱笆围成.,x（5-x）=6,考点4实际问题与一元二次方程,（1）求鸡场的长与宽各为多少米;（2）能否围成一个面积为900m2的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由.,解：（1）设垂直于墙的一边为xm，则另一边为（80-2x）m.根据题意,得x（80-2x）=750.整理,得x2-40 x+375=0.解得x1=25，x2=15.由于墙长45m，而80-215=5045，x2=15不合题意,舍去.答：鸡场的长是30m，宽是25m.,考点4实际问题与一元二次方程,（2）设垂直于墙的一边长为xm.依题意，得x（80-2x）=900.整理,得x2-40 x+450=0.b2-4ac=402-41450=-2000，此方程无解.不能围成一个面积为900m2的长方形养鸡场.,考点4实际问题与一元二次方程,三、利润问题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20kg.现该商场要保证每天赢利6000元，设每千克应涨价x元，则可列方程为_.,（10+x）（500-20 x）=6000,考点4实际问题与一元二次方程,6.（2017眉山）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元.调查表明：每生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元.（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？,考点4实际问题与一元二次方程,解：（1）（14-10）2+1=3（档次）.答：此批次蛋糕属第三档次产品.（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品.根据题意,得10+2（x-1）（76+4-4x）=1080.整理,得x2-16x+55=0.解得x1=5，x2=11（不合题意，舍去）.答：该烘焙店生产的是第五档次的产品.,考点4实际问题与一元二次方程,四、其他问题7.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程符合题意的是（）A.x（x-1）=45B.x（x+1）=45C.x（x-1）=45D.x（x+1）=45,A,考点4实际问题与一元二次方程,8.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A.50（1+x）2=182B.50+50（1+x）+50（1+x）2=182C.50（1+2x）=182D.50+50（1+x）+50（1+2x）2=182,B,考点4实际问题与一元二次方程,9.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为_.10.如图M21-2，在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为ts.,x（x-1）=362,考点4实际问题与一元二次方程,（1）填空：BQ=_cm，PB=_cm（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.,2t,（5-t）,考点4实际问题与一元二次方程,解：（2）由题意，得（5-t）2+（2t）2=52.解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2.当t=2s时，PQ的长度等于5cm.（3）存在.长方形ABCD的面积=56=30（cm2），要使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则PBQ的面积为30-26=4（cm2），即（5-t）2t=4.解得t1=4（不合题意，舍去），t2=1.当t=1s时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2.,
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