2017年高考数学四海八荒易错集专题11空间几何体理

专题11 空间几何体1一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C.D1答案C2封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.3在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.4一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A16B88C228D448答案D解析由三视图知，所以SPCDSPAD222，SPABSPBC222.所以几何体的表面积为448.5在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为()A6B12C32D36答案B6已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_答案解析如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r24r42(当且仅当r21r2，即r时取等号)所以当r时，.7如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_答案解析设直线AC与BD所成角为，平面ACD翻折的角度为，设点O是AC的中点，由已知得AC，如图，所以cos1时，cos取最大值.8已知在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABACPA2，且在ABC中，BAC120，则三棱锥PABC的外接球的体积为_答案解析由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcosBAC，BC22222222()12，BC2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r，则2r4，所以r2.由PA2且PA平面ABC知球心到平面ABC的距离为1，所以球的半径为R，所以V球R3.9如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_答案610如图，在RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与点P重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积(1)证明EFBC且BCAB，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPEE，EF平面PBE，又PB平面PBE，EFPB.(2)解设BEx，PEy，则xy4.SPEBBEPEsinPEBxy21.当且仅当xy2时，SPEB的面积最大此时，BEPE2.VPBCFE612.易错起源1、三视图与直观图例1、(1)(2016课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28D32(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案(1)C(2)D【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案(1)D(2)B【名师点睛】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果【锦囊妙计，战胜自我】1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体易错起源2、几何体的表面积与体积例2、(1)(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.B.C.D1(2)如图，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E4，C1F3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1DBC的体积为()A66B68C70D72答案(1)A(2)A解析(1)由三视图知，三棱锥如图所示：那么几何体EFC1DBC被分割成三棱锥DEFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC的体积为V346(36)66125466.故所求几何体EFC1DBC的体积为66.【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_答案【名师点睛】 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差求解时注意不要多算也不要少算【锦囊妙计，战胜自我】空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧易错起源3、多面体与球例3、(1)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为()A4B12C16D64(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3答案(1)C(2)A解析(1)在ABC中，设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，在RtOAB中，OA(R2)cm，AB4cm，OBRcm，由R2(R2)242，得R5，V球R3(cm3)故选A.【变式探究】在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_答案解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，【名师点睛】三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；(2)PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线【锦囊妙计，战胜自我】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图1如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析由所截几何体可知，FC1被平面AD1E遮挡，可得B图2下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A2B.C.D.答案D解析多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V4，选D.3某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A82B8C8D8答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V(22212)28.4圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r等于()A1B2C4D8答案B解析如图，5如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.B3C.D2答案A解析如图所示，6有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_答案2解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图7某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.答案7232解析由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm，其直观图如下：其体积V222432(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S2(222244)2222(832)872(cm2)8.如图所示，从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCDA1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为_cm3.答案369一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于_答案2解析由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r(6810)2.10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥EABCD.(1)V (86)464.(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h118