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3.2双曲线的简单性质课时目标了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质1双曲线的简单几何性质标准方程1 (a0，b0)1 (a0，b0)范围对称性关于_轴对称关于原点对称顶点(a,0)，(a,0)渐近线yx离心率e12.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的_；(2)双曲线1的两个顶点为A1(a,0)、A2(a，0)设B1(0，b)、B2(0，b)，线段A1A2叫做双曲线的_，它的长等于2a，a叫做双曲线的半实轴长，线段B1B2叫做双曲线的_，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为yx.(3)当双曲线的离心率e由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得_，原因是，当e增大时，也增大，渐近线的斜率的绝对值_一、选择题1下列曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.12双曲线1的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dyx3双曲线与椭圆4x2y21有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线的方程为()A2x24y21 B2x24y22C2y24x21 D2y24x234设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()Ayx By2xCyx Dyx5直线l过点(，0)且与双曲线x2y22仅有一个公共点，则这样的直线有()A1条 B2条 C3条 D4条6已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B. C2 D.题号123456答案二、填空题7两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线1的离心率e_.8在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且a10，cb6，则顶点A运动的轨迹方程是_9与双曲线1有共同的渐近线，并且经过点(3，2)的双曲线方程为_三、解答题10根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点，且一条渐近线为4x3y0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.11已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1MF2；(3)求F1MF2的面积能力提升12设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. B.C. D.13F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且F1PF260，SPF1F212，又离心率为2，求双曲线的方程1双曲线1 (a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率e的取值范围是(1，)，其中c2a2b2，且，离心率e越大，双曲线的开口越大可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围3双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程为yx，也可记为0；与双曲线1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (0)32双曲线的简单性质知识梳理1.标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)范围xa或xaya或ya对称性关于x、y轴对称关于原点对称顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)渐近线yxyx离心率e1e12.(1)中心(2)实轴虚轴(3)开阔增大作业设计1Be，e2，故选B.2A3C由于椭圆4x2y21的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为yx，得，即a22b2，又由2a2b2，得a2，b2，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y24x21.4C由题意知，2b2,2c2，则b1，c，a；双曲线的渐近线方程为yx.5C点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点6B|PF1|PF2|2a，即3|PF2|2a，所以|PF2|ca，即2a3c3a，即5a3c，则.7.解析ab5，ab6，解得a，b的值为2或3.又ab，a3，b2.c，从而e.8.1(x3)解析以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(5,0)，C(5,0)，而|AB|AC|63)9.1解析所求双曲线与双曲线1有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为 (0)点(3,2)在双曲线上，.所求双曲线的方程为1.10解(1)因直线x与渐近线4x3y0的交点坐标为，而30，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故选D.13解设双曲线方程为1.|F1F2|2c，而e2.由双曲线定义得|PF1|PF2|2ac.由余弦定理得(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos 60)4c2c2|PF1|PF2|.又SPF1F2|PF1|PF2|sin 6012，|PF1|PF2|48.3c248，c216.a24，b212.所求双曲线方程为1.- 6 -
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