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第4节直线、平面平行的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号与平行有关的命题判断1,2,3,5,7直线与平面平行6,8,10,11,14平面与平面平行9,11,15综合问题4,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,与直线CC1平行的棱的条数是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:与直线CC1平行的棱有AA1,BB1,DD1,共3条.2.设l表示直线,表示平面.给出四个结论:如果l,则内有无数条直线与l平行;如果l,则内任意的直线与l平行;如果,则内任意的直线与平行;如果,对于内的一条确定的直线a,在内仅有唯一的直线与a平行.以上四个结论中,正确结论的个数为(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:中内的直线与l可异面,中可有无数条.3.(2016福建联考)设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若ml,且m,则l;若=l,=m,=n,则lmn;若=m,=l,=n,且n,则lm.其中正确命题的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:对,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故正确;对,直线l可能在平面内,故错误;对,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故错误;对,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上正确.4.(2015揭阳一模)设平面,直线a,b,a,b,则“a,b”是“”的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由平面与平面平行的判定定理可知,若直线a,b是平面内两条相交直线,且有“a,b”,则有“”;当“”,若a,b,则有“a,b”,因此“a,b”是“”的必要不充分条件.5.(2016温州模拟)已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题中错误的是(C)(A)若m,m,则(B)若,则(C)若m,n,mn,则(D)若m,n是异面直线,m,m,n,n,则解析:由线面垂直的性质可知A正确;由两个平面平行的性质可知B正确;由异面直线的性质易知D也是正确的;对于选项C,可以相交、可以平行,故C错误.6. 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14,又H,G分别为BC,CD的中点,则(B)(A)BD平面EFGH,且四边形EFGH是矩形(B)EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形(C)HG平面ABD,且四边形EFGH是菱形(D)EH平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形解析:由AEEB=AFFD=14知EFBD,所以EF平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HGBD.所以EFHG且EFHG,所以四边形EFGH是梯形.7.(2015汕头质检)若m,n为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,则下列命题中真命题的序号是.若m,n都平行于平面,则m,n一定不是相交直线;若m,n都垂直于平面,则m,n一定是平行直线;已知,互相平行,m,n互相平行,若m,则n;若m,n在平面内的射影互相平行,则m,n互相平行.解析:为假命题;为真命题;在中,n可以平行于,也可以在内,故是假命题;在中,m,n也可能异面,故为假命题.答案:8. 如图所示,在四面体ABCD中,M,N分别是ACD,BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是.解析:连接AM并延长交CD于E,连接BN,并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由=,得MNAB.因此,MN平面ABC且MN平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD9.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件时,有平面D1BQ平面PAO.解析: 假设Q为CC1的中点,因为P为DD1的中点,所以QBPA.连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1BPO,又D1B平面PAO,QB平面PAO,所以D1B平面PAO,QB平面PAO,又D1BQB=B,所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ平面PAO.答案:Q为CC1的中点10. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中, E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EHA1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证:FG平面ADD1A1.证明:因为EHA1D1,A1D1B1C1,EH平面BCC1B1,B1C1平面BCC1B1,所以EH平面BCC1B1,又平面FGHE平面BCC1B1=FG,所以EHFG,即FGA1D1,又FG平面ADD1A1,A1D1平面ADD1A1,所以FG平面ADD1A1.11. 如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE平面DMF;(2)求证:平面BDE平面MNG.证明: (1)连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为ABE的中位线,所以BEMO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DEGN,又DE平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又M为AB的中点,所以MN为ABD的中位线,所以BDMN,又MN平面MNG,BD平面MNG,所以BD平面MNG,又DE,BD平面BDE,DEBD=D,所以平面BDE平面MNG.能力提升练(时间:15分钟)12.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱A1B1的中点,点P是侧面CDD1C1上的动点,且MP平面AB1C,则线段MP扫过的图形是(B)(A)中心角为30的扇形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形解析: 取CD的中点N,CC1的中点R,B1C1的中点H,连接MH,MN,HR,NR,MR,则MNB1CHR,MHAC,故平面MNRH平面AB1C,故当点P在NR上运动时,MP平面AB1C,所以线段MP扫过的图形是MNR.设AB=2,则MN=2,NR=,MR=,所以MN2=NR2+MR2,所以MNR是直角三角形,即线段MP扫过的图形是直角三角形.13. (2016温州模拟)如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻转成A1DE.若M为线段A1C的中点,则在ADE翻转过程中,正确的命题是.MB是定值;点M在圆上运动;一定存在某个位置,使DEA1C;一定存在某个位置,使MB平面A1DE.解析: 取DC中点N,连接MN,NB,则MNA1D,NBDE,所以平面MNB平面A1DE,因为MB平面MNB,所以MB平面A1DE,正确;A1DE=MNB,MN=A1D=定值,NB=DE=定值,根据余弦定理得MB2=MN2+NB2-2MNNBcos MNB,所以MB是定值.正确;B是定点,所以M是在以B为圆心,MB为半径的圆上,正确;当矩形ABCD满足ACDE时存在,其他情况不存在,不正确.所以正确.答案: 14. 如图,几何体EABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求证:BE=DE;(2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC.证明: (1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以COBD.又ECBD,ECCO=C,CO,EC平面EOC,所以BD平面EOC,因此BDEO.又O为BD的中点,所以BE=DE. (2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MNBE.又MN平面BEC,BE平面BEC,所以MN平面BEC.又因为ABD为正三角形,所以BDN=30.又CB=CD,BCD=120,因此CBD=30,所以DNBC.又DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN平面BEC.又MNDN=N,所以平面DMN平面BEC.又DM平面DMN,所以DM平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,BCD=120,所以CBD=30.因为ABD为正三角形,所以BAD=ABD=60,ABC=90,因此AFB=30,所以AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DMEF.又DM平面BEC,EF平面BEC,所以DM平面BEC.15. 如图所示,棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C平面ABCD.(1)证明:BDAA1;(2)证明:平面AB1C平面DA1C1;(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?(1)证明:因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.由于平面AA1C1C平面ABCD,平面AA1C1C平面ABCD=AC,所以BD平面AA1C1C,故BDAA1.(2)证明:连接B1C,AB1,由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知AB1DC1,A1DB1C,又AB1B1C=B1,A1DDC1=D.故平面AB1C平面DA1C1.(3)解:存在这样的点P.因为A1B1ABDC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1DB1C.在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP.因为B1BCC1,所以BB1CP,所以四边形BB1CP为平行四边形,则BPB1C,所以BPA1D,而BP平面DA1C1,A1D平面DA1C1,所以BP平面DA1C1.故在直线C1C上存在C1C=CP的点P符合题意.精彩5分钟1. (2015天津滨海模拟)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQAC,则下列命题中,错误的是(C)(A)ACBD(B)AC截面PQMN(C)AC=BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45解题关键:此题的关键是利用线线平行得到线面平行.解析:由题意可知QMBD,PQQM,所以ACBD,故A正确;由PQAC可得AC截面PQMN,故B正确;由PNBD可知,异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,又四边形PQMN为正方形,所以MPN=45,故D正确.2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中,Q是CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点且A1F平面D1AQ,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围为.解题关键:解此题的关键是确定动点F的位置,再确定A1F与平面BCC1B1所成角的正切值最大值和最小值时的位置.解析: 设平面AD1Q与直线BC交于点G,连接AG,QG,则G为BC的中点,分别取B1B,B1C1的中点M,N,连接A1M,MN,A1N,如图所示.因为A1MD1Q,A1M平面D1AQ,D1Q平面D1AQ,所以A1M平面D1AQ,同理可得MN平面D1AQ.因为A1M,MN是平面A1MN内的两条相交直线,所以平面A1MN平面D1AQ.由此结合A1F平面D1AQ,可得直线A1F平面A1MN,即点F是线段MN上的动点.设直线A1F与平面BCC1B1所成角为,移动点F并加以观察,可得当点F与M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此时所成角达到最小值,满足tan =2;当点F与MN中点重合时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,满足tan =2,所以A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围为2,2.答案:2,28
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