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第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、并项法、分组法求和1,2,6裂项相消法求和3,10,11, 13错位相减法求和4,9数列的综合应用5,8,12,14数列的实际应用7基础对点练(时间:30分钟)1.数列1+2n-1的前n项和为(C)(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1(D)n+2+2n解析:由题意令an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1,故选C.2.数列an的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17等于(A)(A)9(B)8(C)17(D)16解析:S17=(1-2)+(3-4)+(15-16)+17=-18+17=9.故选A.3.(2015鞍山校级四模)数列an的前n项和为Sn,若an=,则S5等于(B)(A)1(B)(C)(D)解析:因为an=-,所以Sn=(1-)+(-)+(-)=1-=.所以S5=.故选B.4.Sn=+等于(B)(A) (B)(C)(D)解析:由Sn=+,得Sn=+,-得,Sn=+-=-,所以Sn=.5.(2015郑州二模)已知等比数列an的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,则Sn的最大值为(D)(A) (B)(C)(D)解析:因为等比数列an的首项为,公比为-,所以Sn=1-(-)n,当n取偶数时,Sn=1-()n1;当n取奇数时,Sn=1+()n1+=.所以Sn的最大值为.故选D.6.(2016宁夏石嘴山高三联考)在数列an中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN*),则a1+a2+a51=.解析:因为数列an中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN*),所以a3-a1=0,a5-a3=0,a51-a49=0,所以a1=a3=a5=a51=1.由a4-a2=2,得a4=2+a2=4,同理可得a6=6,a8=8,a50=50.所以a1+a2+a3+a51=(a1+a3+a5+a51)+(a2+a4+a50)=26+=676.答案:6767.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=.解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为an,由题意知,a1=10,an+an-1+an-2=114,=a1an.所以3an-1=114,即an-1=38.(a1+5d)2=a1(an-1+d),所以(10+5d)2=10(38+d),即5d2+18d-56=0,解得d=2或d=-(舍去).所以an-1=10+(n-2)2=2n+6=38,所以n=16.答案:168.对于每一个正整数n,设曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99=.解析:对y=xn+1求导得y=(n+1)xn,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=,则an=lg xn=lg ,所以a1+a2+a99=lg(=lg =-2.答案:-29.(2015高考山东卷)设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3 an,求bn的前n项和Tn.解:(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n2时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=(2)因为anbn=log3an,所以b1=,当n2时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=;当n2时,Tn=b1+b2+b3+bn=+13-1+23-2+(n-1)31-n,所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=+-(n-1)31-n=-,所以Tn=-.经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=-.10.(2015大连市高三一模)已知数列an中,a1=1,其前n项的和为Sn,且满足an=(n2).(1)求证:数列是等差数列;(2)证明:S1+S2+S3+Sn.证明:(1)当n2时,Sn-Sn-1=,Sn-1-Sn=2SnSn-1,-=2,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列. (2)当n2时,Sn=(-).从而S1+S2+S3+Sn1+1-+-+-.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016哈尔滨六中高三期中)数列an满足a1=1,对任意的nN*都有an+1=a1+an+n,则+等于(B)(A)(B)(C)2(D)解析: an+1=a1+an+n,a1=1,an=an-1+n,即an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,a2-a1=2(n2),以上n-1个等式分别相加得an-a1=(n2),所以an=+1=,所以=2(-),所以+=21-+-+-=.选B.12.(2016防城港模拟)已知an是等差数列,bn是正项等比数列,若a11=b10,则(D)(A)a13+a9=b14b6(B)a13+a9=b14+b6(C)a13+a9b14+b6(D)a13+a9b14+b6解析:设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的正项等比数列,即有a13+a9=2a11=2b10,b14b6=,则a13+a9-b14b6=(2-b10)b10,当b102时,a13+a9b14b6;当0b10b14b6.又b14+b6=b1q13+b1q5,由a13+a9-(b14+b6)=2b1q9-b1q13-b1q5=-b1q5(q8-2q4+1)=-b1q5(q4-1)20,则有a13+a9b14+b6.综上可得,A,B,C均错,D正确.13.(2015广西南宁二模)在各项均为正数的等比数列an中,a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=(n+2)log2an,求数列的前n项和Tn.解:(1)设数列an的公比为q,因为2a1,a3,3a2成等差数列,所以2a1+3a2=2a3,2a1+3a1q=2a1q2,2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-.因为q0,所以q=2.因为a1=2,所以数列an的通项公式an=a1qn-1=2n,nN*.(2)因为bn=(n+2)log2an=n(n+2),所以=(-),Tn=+=(1-)+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=(1+-)=-.14.(2015郑州第二次质量预测)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2a1+log2a2+log2an,求使(n-8)bnnk对任意nN*恒成立的实数k的取值范围.解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2,因为Sn=2an-2,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即=2.数列an是以a1=2为首项,公比为2的等比数列,所以an=2n(nN*).(2)bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+3+n=.由(n-8)bnnk对任意nN*恒成立,即实数k对nN*恒成立;设cn=(n-8)(n+1),则当n=3或n=4时,cn取得最小值为-10,所以k-10,即k的取值范围为(-,-10.精彩5分钟1.(2015石家庄二模)已知函数f(x)=设方程f(x)=的根从小到大依次为x1,x2,xn,nN*,则数列f(xn)的前n项和为(C)(A)n2(B)n2+n(C)2n-1(D)2n+1-1解题关键:解决本题的关键是正确画出函数f(x)的图象,找出f(x)=的根,进而可得数列f(xn)是特殊数列,利用公式法求和.解析:函数f(x)=的图象如图所示,x=1时,f(x)=1,x=3时,f(x)=2,x=5时,f(x)=4,所以方程f(x)=的根从小到大依次为1,3,5,数列f(xn)从小到大依次为1, 2,4,组成以1为首项,2为公比的等比数列,所以数列f(xn)的前n项和为=2n-1.故选C.2.(2015甘肃一诊)设数列an的前n项和为Sn,已知+=,设bn=(),数列bn的前n项和为Tn,若对一切nN*均有Tn(,m2-6m+),则实数m的取值范围是.解题关键:先求出Sn,再由an与Sn的关系求出an,进而求出bn及Tn,然后求出Tn的范围,则由Tn(,m2-6m+)可知Tn的范围应是集合(,m2-6m+)的子集,比较端点值即可求解.解析:因为+=,所以当n2时,+=,所以-得=-=,所以Sn=n(n+1)(n2).当n=1时,=,所以a1=2,符合Sn=n(n+1)(n2),所以Sn=n(n+1),所以可求得an=2n,所以bn=()=()2n=()n.因为=,b1=,所以bn是以为首项,为公比的等比数列.所以Tn=,.因为Tn(,m2-6m+),所以,)(,m2-6m+),即解得m0或m5.答案:(-,0)5,+)8
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