资源描述
第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用函数图象研究函数零点问题4构造函数法研究函数零点问题1,2,31.(2016济南模拟)已知函数f(x)=ex+ax-a(aR且a0).(1)若函数f(x)在x=0处取得极值,求实数a的值;并求此时f(x)在-2,1上的最大值;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域为R,f(x)=ex+a,由函数f(x)在x=0处取得极值,则f(0)=1+a=0,解得a=-1,即有f(x)=ex-x+1,f(x)=ex-1,当x0时,有f(x)0时,有f(x)0,f(x)递增.则x=0处f(x)取得极小值,也为最小值,且为2,又f(-2)=e-2+3,f(1)=e,f(-2)f(1),即有f(-2)为最大值e-2+3;(2)函数f(x)不存在零点,即为ex+ax-a=0无实数解,由于x=1时,e+0=0显然不成立,即有aR且a0.若x1,即有-a=,令g(x)=,则g(x)=,当x2时,g(x)0,g(x)递增,当x1和1x2时,g(x)0,g(x)递减.即有x=2处g(x)取得极小值,为e2,在x1时,g(x)0,则有0-ae2,解得-e2a0,则实数a的取值范围为(-e2,0).2.(2016郑州市第二次质量预测)已知函数f(x)=ax-1+ln x,其中a为常数.(1)当a（-,-）时,若f(x)在区间(0,e)上的最大值为-4,求a的值;(2)当a=-时,若函数g(x)=|f(x)|-存在零点,求实数b的取值范围.解:(1)由题意f(x)=a+,令f(x)=0,解得x=-,因为a（-,-）,所以0-0解得0x-,由f(x)0解得-x0,当a=-时,f(x)=-1+ln x,所以f(x)=-+=-,当0x0;当xe时,f(x)0,所以f(x)的单调增区间为(0,e),减区间为(e,+),所以f(x)max=f(e)=-1,所以|f(x)|1.令h(x)=+,则h(x)=.当0x0;当xe时,h(x)0,从而h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以h(x)max=h(e)=+,要使方程|f(x)|=+有实数根,只需h(x)max=h(e)=+1即可,则b2-,即b的取值范围是2-,+).3.(2016菏泽市模拟)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0x3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k恒成立,求实数a的取值范围.(3)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间1,e2内有唯一实数解,求实数m的取值范围.解:(1)依题意,知f(x)的定义域为 (0,+),当a=b=时,f(x)=ln x-x2-x,f(x)=-x-=.令f(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),当0x0;当x1时,f(x)0,所以m=1+,要使方程f(x)=mx在区间1,e2上有唯一实数解,只需m=1+有唯一实数解,令g(x)=1+(x0),所以g(x)=,由g(x)0得0xe;g(x)e,所以g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e2上是减函数.g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,故1m1时,解得x1=,x2=.f(x)在(-,x1)和(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,但是函数值恒大于零,极大值f(x1),极小值f(x2),并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x+时,f(x)=+,当x-时,f(x)=0.因此当f(x2)mf(x1)时,关于x的方程f(x)=m一定总有三个实数根,结论成立;当0a1时,f(x)的单调增区间是(-,+),无论m取何值,方程f(x)=m最多有一个实数根,结论不成立.因此所求a的取值范围是(1,+).4
展开阅读全文