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专题六 解析几何 第三讲 圆锥曲线的综合应用适考素能特训 理一、选择题12016天津津南一模平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线 B椭圆C圆 D双曲线答案A解析设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直线，故选A.22016长春质检过双曲线x21的右支上一点P，分别向圆C1：(x4)2y24和圆C2：(x4)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为()A10 B13C16 D19答案B解析由题可知，|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)，因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)32(|PC1|PC2|)32|C1C2|313.故选B.32016山西质检已知F1、F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，且|F1F2|2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|2|PF2|，则PF1F2面积的最大值是()A1 B.C. D2答案B解析|PF1|4a，|PF2|2a，设F1PF2，cos，S2PF1F2216a492，当且仅当a2时，等号成立，故SPF1F2的最大值是，故选B.42016云南统检已知双曲线M的焦点F1、F2在x轴上，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且0，如果抛物线y216x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|()A21 B14C7 D0答案B解析设双曲线方程为1(a0，b0)，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，又抛物线的准线为x4，c4又a2b2c2由得a3.设点P为双曲线右支上一点，由双曲线定义得|PF1|PF2|6又0，在RtPF1F2中|2|282联立，解得|14.二、填空题52016河南洛阳统考已知F1、F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_答案x2解析将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立x3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF2|6a，又易知F2为抛物线的焦点，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x2.62016南昌一模已知抛物线C：x24y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点设直线l是抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，则的最小值为_答案14解析由题意知F(0,1)，所以过点F且斜率为1的直线方程为yx1，代入x24y，整理得x24x40，解得x22，所以可取M(22，32)，N(22，32)，因为lMN，所以可设l的方程为yxm，代入x24y，整理得x24x4m0，又直线l与抛物线相切，所以(4)24(4m)0，所以m1，l的方程为yx1.设点P(x，x1)，则(2x2，4x2)，(2x2，4x2)，(2x)28(4x)282x212x42(x3)21414.72016石家庄质检设抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tanAMB2，则|AB|_.答案8解析依题意作出图象如图所示，设l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y24my40，y1y24m，y1y24，x1x21，x1x2m(y1y2)24m22，tanAMBtan(AMFBMF)，2，2，y1y24m2，44m2，m21，|AB|AF|BF|x11x214m248.三、解答题82016合肥质检设A，B为抛物线y2x上相异两点，其纵坐标分别为1，2，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.(1)求点P的坐标；(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由解(1)知A(1,1)，B(4，2)，设点P坐标为(xP，yP)，切线l1：y1k(x1)，联立由抛物线与直线l1相切，解得k，即l1：yx，同理l2：yx1，联立l1，l2的方程，可解得即点P的坐标为.(2)设M(y，y0)，且2y01，由得，即解得则1，即为定值1.92016山西四校二联已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由解(1)由e得，即ca.又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且该圆与直线2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22.所以椭圆C的标准方程为1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2()为定值，则(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式为定值，即与k无关，3m212m103(m26)，得m.此时，2m26，所以在x轴上存在定点E使得2为定值，且定值为.102016云南统考已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：ykxm与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在m，使4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)根据已知设椭圆E的方程为1(ab0)，焦距为2c，由已知得，ca，b2a2c2.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，42a4，a2，b1.椭圆E的方程为x21.(2)根据已知得P(0，m)，由，得()(1).4，(1)4.若m0，由椭圆的对称性得，即0.m0能使4成立若m0，则14，解得3.设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得(k24)x22mkxm240，由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2.由3得x13x2，即x13x2.3(x1x2)24x1x20，0，即m2k2m2k240.当m21时，m2k2m2k240不成立k2.k2m240，m240，即0.1m24，解得2m1或1m2.综上，当2m1，或m0，或1m2时，4.112015南宁适应性测试(二)已知抛物线C：y2x2，直线l：ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由解(1)证法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2中，得2x2kx20，x1x2.xNxM，N点的坐标为.(2x2)4x，(2x2)k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k.直线l：ykx2的斜率为k，切线平行于AB.证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2中，得2x2kx20，x1x2.xNxM，N点的坐标为.设抛物线在点N处的切线l1的方程为ym，将y2x2代入上式得2x2mx0，直线l1与抛物线C相切，m28m22mkk2(mk)20，mk，即l1AB.(2)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.M是AB的中点，|MN|AB|.由(1)知yM(y1y2)(kx12kx22)k(x1x2)42，MNx轴，|MN|yMyN|2.|AB|.，k2，存在实数k2，使以AB为直径的圆M经过点N.122016湖南联考已知圆F1：(x1)2y2r2与F2：(x1)2y2(4r)2(0r|F1F2|，因此曲线E是长轴长2a4，焦距2c2的椭圆，且b2a2c23，所以曲线E的方程为1.(2)()由曲线E的方程得上顶点M(0，)，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x10，x20.若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为xx1，故y1y2，且yy3，因此，kMAkMB，与已知不符，因此直线AB的斜率存在设直线AB：ykxm，代入椭圆E的方程1，得(34k2)x28kmx4(m23)0.因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程有两个非零不等实根x1，x2，所以x1x2，x1x2.又kAM，kMB.由kAMkBM得4(kx1m)(kx2m)x1x2，即(4k21)x1x24k(m)(x1x2)4(m)20，所以4(m23)(4k21)4k(m)(8km)4(m)2(34k2)0，化简得m23m60，故m或m2.结合x1x20知m2，即直线AB恒过定点N(0,2)()由0且m2得k或kb0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上；直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标审题过程由条件求出椭圆方程，设出P点坐标，求出切线方程后与椭圆方程联立，顺次求点D、M的坐标利用表面公式表示出，由函数知识求最值注意设而不求思想的运用.(1)由题意知，可得：a24b2，因为抛物线E的焦点F，所以b，a1， 所以椭圆C的方程为x24y21.(2)证明：设P(m0)由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m.因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22)，(*)且x1x2，因此x0，将其代入ymx，得y0，因为，所以直线OD的方程为yx.联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上由知直线l的方程为ymx.令x0，得y，所以G.又P，F，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|.所以.设t2m21.则2，当，即t2时，取得最大值，此时m，满足(*)式，所以P点的坐标为，因此的最大值为，此时点P的坐标为.模型归纳求圆锥曲线中定点(定值、定直线)、最值问题的模型示意图如下：
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