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第1讲坐标系与参数方程1(2016课标全国)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|，得cos2，tan .所以l的斜率为或.2(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.热点一极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.例1在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.思维升华(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性跟踪演练1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.即线段AB的长为16.热点二参数方程与普通方程的互化1直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)2圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)3圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)例2(2015福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.思维升华(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围跟踪演练2已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值解由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.所以当k，kZ时，d取得最大值.热点三极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等例3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.思维升华(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用跟踪演练3(2015陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标解(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC| ，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)1在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长解极坐标方程cos 4的普通方程为x4，代入得t2，当t2时，y8；当t2时，y8.两个交点坐标分别为(4,8)，(4，8)，从而AB16.2在直角坐标系中圆C的参数方程为 (为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程解由参数方程消去得圆C的方程为x2(y2)24，将xcos ，ysin ，代入得(cos )2(sin 2)24，整理得4sin .3已知曲线C：(为参数)，直线l：(cos sin )12.(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值解(1)依题意可得直线l的直角坐标方程为xy120，曲线C的普通方程为1.(2)设P(3cos ，sin )，则点P到直线l的距离d，故当cos()1时，dmin3.A组专题通关1已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为(4，)，求CP的长解由4cos 得24cos ，即x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为(4，)可得点P的直角坐标为(2,2)，CP2.2(2015安徽改编)在极坐标系中，求圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值解圆8sin 化为直角坐标方程为x2y28y0，即x2(y4)216，直线(R)化为直角坐标方程为yx，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径圆心(0,4)到直线yx的距离为2，又圆的半径r4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.3在极坐标系中，已知三点M(2，)、N(2,0)、P(2，)(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上解(1)由公式得M的直角坐标为(1，)；N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上4(2015重庆改编)已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，求直线l与曲线C的交点的极坐标解直线l的直角坐标方程为yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2,0)，其极坐标为(2，)5以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长解直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2,0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.B组能力提高6(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解直线l的方程化为普通方程为xy0，椭圆C的方程化为普通方程为x21，联立方程组得解得或A(1,0)，B.故AB.7(2015湖南)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入式，得t25t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.8已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为4cos.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线l的参数方程可化为y2xa，则由圆的半径为2知，圆心(2，2)到直线y2xa的距离恰好为.所以，解得a6.
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