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专题七 概率与统计 第三讲 概率、随机变量及分布列适考素能特训 理一、选择题12016合肥质检某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为()A. B.C. D.答案A解析由题意得，所有的基本事件总数为44256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为CCCA144，故所求概率P，故选A.22016武昌调研 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A1193 B1359C2718 D3413附：若XN(，2)，则P(X)0.6826，P(2X2)0.9544答案B解析由题意知1，1，因为P(0x1)P(12X12)P(110)，统计结果显示P(60120)0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有_人答案78解析因为成绩N(90，2)，所以其正态曲线关于直线x90对称又P(60120)0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的(10.8)0.1，所以估计成绩高于120分的有0.178078人82016河南信阳一模 如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为，则P(8)_.答案解析解法一(直接法)：由已知得，的可能取值为7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列为：78910PP(8)P(8)P(9)P(10).解法二(间接法)：由已知得，的可能取值为7,8,9,10，故P(8)与P(7)是对立事件，所以P(8)1P(7)1.三、解答题92016云南统检某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P(A)；(2)设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)由已知，得P(A).所以事件A的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得P(Xk)(k1,2,3,4)P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列为：X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.102016郑州质检某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由解(1)设下周一无雨的概率为p，由题意，p20.36，p0.6，基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，则P(X20)0.36，P(X15)0.24，P(X10)0.24，P(X7.5)0.16，所以基地收益X的分布列为：X2015107.5P0.360.240.240.16基地的预期收益E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4，所以，基地的预期收益为14.4万元(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，收益P可能取值为20a,10a，P(Y20a)0.6，P(Y10a)0.4，则其预期收益E(Y)200.6100.4a16a(万元)，E(Y)E(X)1.6a，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以112015安徽安庆六校联考前不久，省社科院发布了2014年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城市”随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望解(1)众数：8.6；中位数：8.75.(2)设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P(A)P(A0)P(A1).(3)的可能取值为0,1,2,3.P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.则的分布列为：0123PB所以E()30.75.122016沈阳质检某中学根据20022014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且mn.(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望解(1)依题，解得(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.而P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6).X的分布列为：X0123456P于是，E(X)0123456.典题例证2016全国卷某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？审题过程由柱状图得频率，分别求出随机变量每个取值所对应的概率，进而可得分布列由(1)可求出n的最小值；分别求出n19，n20的期望值，再比较选取哪一个较好.(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044040.当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080.可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19.模型归纳求离散型随机变量的分布列与均值的模型示意图如下：
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