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河北正定中学高二年级第一学期期末考试数 学 试 题（理）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，若为实数，则实数的值为（ ）A B C D2. 函数的最大值为（ ）A. B. C. D.13. 为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A13 B19 C20 D514. 设命题：，命题：一元二次方程有实数解则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为( )A.8 B.11 C.9 D.126. 在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小是( )A. B. C. D.7已知，是由直线和曲线围成的曲边三角形的平面区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率是，则的值为( )A B C D 8. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A求数列的前10项和 B求数列的前10项和C求数列的前11项和 D求数列的前11项和9. 已知抛物线的准线为，过点且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 10. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A B C D11. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )ABCD212.已知函数的导函数为，且，设，是方程的两根，则的取值范围为（ ）A B C D第卷二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若，则 14. 给出下列不等式：,，则按此规律可猜想第个不等式为 15. 设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标为 16. 已知双曲线的左右焦点为，点在其右半支上，若，若，则该双曲线的离心率的取值范围为 三、解答题：6道大题，共70分，须写出必要的解答过程.17（本小题满分10分）在中,角,所对的边分别为,且,.(1)若,求的值；(2)若的面积,求,的值.18.（本小题满分12分）已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项；（2）设数列的前项和为，令，求数列的前项和.19.（本小题满分12分） 某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如下频率分布表根据相关信息回答下列问题：分组频数频率40,50)0.150,60)90.1560,70)90.1570,80)180.380,90)1590,10030.05 （1）求的值，并画出频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数在60，80)内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在70，80)内的概率20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值21.（本小题满分12分）已知椭圆：()的右焦点为,且在椭圆上。（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点的直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在定点,使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。22.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）证明：对任意在区间内均存在零点.河北正定中学16-17学年高二年级期末考试理 科 数 学（答案）1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.C 13.12 14. 15. 16.17.解:(1)因为,又, 所以 2分由正弦定理,得 5分(2)因为, 所以. 所以 7分由余弦定理,得.所以 10分18.解：（）由题设知公差，由，成等比数列得，解得（舍去）， 3分故的通项. 6分（2）因为，所以，9分所以12分19.解：（），1分4分（）450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.05 = 71 8分（）由题意知60, 70)中抽2人，设为A1、A2，70, 80)中抽取4人，设为B1、B2、B3、B4则任取两人共有15种取法(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A1,B4)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(A2,B4)(B1,B2)(B1,B3)(B1,B4)(B2,B3)(B2,B4)(B3,B4) 10分至多有一人在70,80)总有9种情况 12分答:分数在70，80)内的频率为0.3，本次考试的平均分为71，至多有1人的分数在70，80)内的概率为.20.(1)法一：,且为的中点, 3分连结,，且为的中点, 平面6分法二：证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形，A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)2分(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)2420，2020. 4分，PCBF，PCEF.又BFEFF，PC平面BEF. 6分(2)解：由(1)知平面BEF的一个法向量(2,2，2)，9分平面BAP的一个法向量(0,2，0)，.设平面BEF与平面BAP的夹角为，则，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.12分21.解：（1）由题知，有椭圆的定义得，即2分，所以椭圆方程为4分（2）假设在轴上存在点,使得恒成立。当直线的斜率不存在时，A(1,),B(1,),由于（）()=,所以，或5分 当直线的斜率为0时，A（，0）B（，0）若，则（，0）（，0）=，符合题意。 若，则（，0）（，0），舍。 6分所以猜想存在定点，使得恒成立。证明如下：当直线的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1,A,B,由x=ty+1及得有；8分 ，=， 11分综上所述：在轴上存在定点，使得恒成立。12分22.解：（1），令，得或。当0时，0的解集为 的单调增区间为，单调减区间为。2分当0时，0的解集为的单调增区间为，单调减区间为。4分（2）由（1）可知，当0时，在内递减，内单调递增。当即时，在(0,1)递减。 0，0在(0,1)内有零点。6分当01，即02时，在内递减,在内单调递增。）若00在内存在零点。9分）若，因，在递减，又因0在内存在零点。对任意，在区间(0,1)内均存在零点。12分
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