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遵义四中2018届高二第一学期期末测试数学（理科）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题1. 双曲线的实轴长是（ ）A2 B C4 D2.已知命题p：x0，x10 Bp：x，x210Cp：x，x210 Dp：x，x2103某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ()A7 B5 C3 D104. 抛物线的焦点坐标是( ) A. B. C. D.5.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（ ）.A23与26 B31与26C24与30 D26与30 6.“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分条件又不必要条件7.为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：喜欢数学不喜欢数学总计男4080120女40140180总计80220300并经计算：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.A B C D 8阅读右面的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是()A5 049 B5 050 C5 051 D5 0529.点在边长为1的正方形内运动，则动点到顶点的距离的概率为（ ）A B C D10.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D11. 已知分别为双曲线的左、右顶点， 是上一点，且直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）A. B. C. D.12.设，在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为（ ）A3 B4 C D二、填空题13. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： 40，50），50，60），90，100后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在70，80）内的人数是 14.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是_15. 点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小 .16.已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为 三、解答题 17.（本题满分10分）设数列满足：,.（1）证明:数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和. 18.（本题满分12分）已知函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角，所对边的长分别是，若，求的面积的值.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为的中点，平面交于点.（1）求证：；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.20.（本题满分12分）一台机器使用时间较长，但还可以使用它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)用相关系数对变量y与x进行相关性检验；(2)如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留整数)参考数据： ，.参考公式：相关系数计算公式 ： 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .21.（本题满分12分）已知平面内一动点到点距离比到直线的距离小2. 设动点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于、两点，过点作直线：的垂线，垂足为，设， . 求证：，； 、三点共线 (为坐标原点).22.（本题满分12分）已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的标准方程；（2）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由遵义四中2018届高二第一学期期末测试数学（理科）参考答案112.CCA BBB DAC DBD13.30 14. 15. 16.17.解析：（1）证明：于是 4分 即数列是以为公比的等比数列. 因为，所以 6分（2） 8分得 10分故 12分18.解（1）， 3分由，解得，.函数的单调递增区间是，.6分（2）在中，解得，.又，. 8分依据正弦定理，有，解得.9分，10分.12分19.证明：（1）因为底面为直角梯形， 所以. 因为 所以. 2分 因为，所以. 3分（2）因为分别为的中点， 所以. 4分 因为 所以. 因为， 所以. 因为， 所以. 所以. 6分 因为， 所以 因为，所以. 7分（3）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则. 由（II）可知，所以的法向量为. 9分设平面的法向量为因为，,所以.即.令，则，.所以 11分所以. 所以二面角的余弦值为. 12分20.解(1)12.5，8.25， 4412.5， 2分 所以r0.995. 4分 因为r0.75，所以y与x有很强的线性相关关系 5分 (2) 0.728 6， 7分 8.250.728 612.50.857 5，所求线性回归方程为 0.728 6x0.857 5. 9分 (3)要使 100.728 6x0.857 510，所以x14.901 915.所以机器的转速应控制在15转/秒以下 12分21.解：（1）由题意可知：动点到点距离与到直线的距离相等， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为 6分 （2）联立直线与抛物线的方程，可得， 9分 设，则， ， 所以、三点共线. 12分，则6分又，8分设存在点，则，所以 ， 10分要使得(为常数)，只要，从而，即11分由（1）得，代入（2）解得，从而， 故存在定点，使恒为定值 12分
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