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江苏省南通中学20162017学年度第一学期期末考试高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 若直线经过、两点, 则直线的倾斜角为答案：2 已知平面平面，若直线平面，则直线与平面的位置关系为 答案：垂直 3 函数，则答案：4 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为答案：x2(y2)215 准线方程为的抛物线的标准方程是答案：6 棱长为的正方体的外接球表面积为答案: 7 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为答案:8 已知函数，若函数在点处切线与直线平行，则答案：9 如果平面直角坐标系中的两点，关于直线对称，那么直线的方程为答案：10若椭圆和圆（其中为椭圆的半焦距）， 有四个不同的交点，则该椭圆离心率的取值范围为答案：11若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为答案：12若直线平分圆：的周长,则的取值范围是答案：13定义在上的单调函数，对任意，成立，若方程的解在区间内，则答案：14过点的动直线与抛物线交于，两点，在，两点处的切线分别为、，若和交于点，则圆上的点与动点距离的最小值为答案：二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）若函数在区间上的最大值为，求的值解：（1）因为，所以，令，即，解得， 所以函数的单调减区间为. （2）由函数在区间内的列表可知：x41340+0函数在和上分别是减函数，在上是增函数. 又因为，所以，所以是在上的最大值， 所以，即16如图，在三棱锥中，平面，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面17已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、 （1）若点的坐标为，求；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；（3）经过、三点的圆是否经过异于点的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由解：（1）因为点坐标为 ，所以，又因为，所以，故 （2）当直线斜率不存在时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为因为，所以圆心到直线的距离为，由，解得或，故直线的方程为或（3）设，的中点，因为为圆的切线，所以经过、三点的圆是以为圆心，为半径的圆，故其方程为化简得由，解得或所以经过、三点的圆经过异于点的定点18请你设计一个仓库它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆 柱，且该仓库的总高度为5m经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/，1百元/，设圆锥母线与底面所成角为，且（1）设该仓库的侧面总造价为y，写出关于的函数关系式；（2）问为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度解：（1），； （2）由得， （第18题）所以，列表：0极小值 所以当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m 19.已知椭圆的离心率为，一条准线方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于,两点.若，当面积最大时，求直线的方程；当时，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线过定点.解：（1）.（2）由 得，整理得（*）设，则，（*）当时，代入（*）和（*）式得：，.所以，又到直线的距离，所以.令，则，则当且仅当，即时等号成立，且因此面积最大时，直线的方程为：.由已知，且椭圆右顶点为所以即整理得：解得或，均满足（*）式，所以当时，直线的方程为，过定点与题意矛盾；当时，直线的方程为，过定点，得证.20. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求的值及的极值；（2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值.解：（1）由，得因为在点处的切线与直线垂直，所以，解得，所以，令，得因为当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值1，无极小值；（2）因为在上单调递减，且又由（1）知在上单调递增，且，所以由零点存在原理得在区间存在唯一零点，函数的图象如图所示：因为函数在区间上存在极值和零点，所以由，解得所以存在符合条件的区间，实数t的取值范围为；（3）当时，不等式可变形为设，则设，则因为时，所以在上单调递增，又因为，所以存在唯一的，使得，即，当时，即，当时，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故，因为，且，所以整数的最大值为.
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