高考数学二模试卷 理（含解析）

2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，则下列关系正确的是（）AAB=BAB=ACA=BDAB=B2在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知条件p：|x+1|2，条件q：3x3，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4正态分布N（a，32），且P（2a3）=P（a+2），则a的值为（）ABC1D45某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8+B8+4C16+4D16+6双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）ABCD7已知正数组成的等比数列an，若a2a19=100，那么a8+a13的最小值为（）A20B25C50D不存在8已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x0时，f（x）0，若f（lnx）f（1），则x的取值范围是（）A（，1）B（0，）（1，+）C（，e）D（0，1）（e，+）9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A14B15C16D1710已知kZ， =（k，1），=（k2，3），若|，则ABC是直角三角形的概率是（）ABCD11底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）ABCD12已知0，f（）=1+m+m（）+（m0），则使得f（）有最大值时的m的取值范围是（）A（，2）B（，3）C1，3D，1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知变量x，y满足，则u=log2（2x+y）的最大值为_14已知平面向量，的夹角为120，|=2，|=2，则与的夹角是_15已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于P（x1，2），Q（x2，y2）两点，则抛物线的准线方程为_16已知数列an的首项a1=1，且满足an+1an2n，anan+232n，则a2016=_三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA，a=2，4SABC=a2+b2c2（1）求角A；（2）求ABC的面积18为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80 人数 525 3025 15表2：女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80 人数10 2040 2010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望表3上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟合计 男生 女生 合计附：k2=，其中n=a+b+c+d P（k2k0） 0.50 0.400.25 0.150.100.05 0.0250.010 0.0050.001k0 0.4550.708 1.3232.072 2.076 3.845.024 6.6357.879 10.82819如图，已知三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，ABC为等边三角形，M为ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PBPA=OC，OP=OC（1）证明：AB平面POC；（2）求二面角POAB的余弦值20已知曲线C1：=1（a0，b0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍（）求曲线C1的方程；（）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点21已知函数f（x）=x2alnxx（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（0x1x2），记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=2a，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由选修4-1：几何证明选讲22如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP（1）证明：ADE=AED；（2）证明PC=PA选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，曲线C2：（为参数），曲线C3：（cos2sin）=7（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|x1|+|x+1|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）a+2xx2在R上恒成立，求实数a的取值范围2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，则下列关系正确的是（）AAB=BAB=ACA=BDAB=B【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】求解一元二次函数的定义域化简集合A，求解值域化简集合B，再逐一判断则答案可求【解答】解：集合A=x|y=x2+1=R，B=y|y=x2+1=1，+），则AB=B，故A，B不正确，则AB，故C不正确，则AB=B，故D正确故选：D2在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案【解答】解：z=1+i，=1i对应的点（1，1）位于第四象限，故选D3已知条件p：|x+1|2，条件q：3x3，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：p：|x+1|2，3x1，q：3x3，x1，pq，p是q的充分不必要条件，故选A4正态分布N（a，32），且P（2a3）=P（a+2），则a的值为（）ABC1D4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】由题意和正态分布曲线的对称性可得2a3+a+2=2a，解方程可得【解答】解：正态分布N（a，32），且P（2a3）=P（a+2），由图象的对称性可得2a3+a+2=2a，解得a=1，故选：C5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8+B8+4C16+4D16+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，圆柱的底面圆半径是1、母线长是1，长方体的长、宽、高分别是4、2、2，该几何体的体积V=121+422=16+，故选：D6双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到a，b的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可【解答】解：由双曲线的渐近线与直线x2y+1=0平行知，双曲线的渐近线方程为x2y=0，即y=x，双曲线的渐近线为y=，即=，离心率e=，故选：B7已知正数组成的等比数列an，若a2a19=100，那么a8+a13的最小值为（）A20B25C50D不存在【考点】等比数列的通项公式【分析】由正数组成的等比数列an，可得a2a19=100=a8a13，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：正数组成的等比数列an，a2a19=100，a2a19=100=a8a13，a8+a132=20，当且仅当a8=a13=10时，a8+a13的最小值为20，故选：A8已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x0时，f（x）0，若f（lnx）f（1），则x的取值范围是（）A（，1）B（0，）（1，+）C（，e）D（0，1）（e，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】由已知中函数f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x0时，f（x）0，函数单调递减，可得，当x0时，f（x）0，函数单调递增，进而将不等式f（ln（x）f（1），转化为一个对数不等式，再根据对数的单调性，即可得到答案【解答】解：f（x）是定义在R上偶函数，当x0时，f（x）0，此时函数为减函数，则x0时，函数为增函数，若f（lnx）f（1），|lnx|1，1lnx1，即xe，故答案选：C9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A14B15C16D17【考点】程序框图【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；第n次循环： =，n=n+1令解得n15输出的结果是n+1=16故选：C10已知kZ， =（k，1），=（k2，3），若|，则ABC是直角三角形的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据向量模长公式求出满足条件的k的个数，分类讨论，求得k的值，再根据古典概型的计算公式进行求解【解答】解：|，kZ，知知k4，3，2，1，0，1，2，3，4，由=（k，1），=（k2，3）垂直，求得k=1，3；=（k，1）与=（2，4），k=2，所以ABC是直角三角形的概率是，故答案选：B11底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r则AB=r，四棱锥的体积为=，解得r=，四棱锥的外接球的体积为：V=，故选：B12已知0，f（）=1+m+m（）+（m0），则使得f（）有最大值时的m的取值范围是（）A（，2）B（，3）C1，3D，1【考点】三角函数的最值【分析】利用三角函数的诱导公式把已知函数化成正切函数，令（0t1），构造一个新函数g（t），再根据不等式的基本性质得到g（t）在（0，1）上必有最大值，然后求出m的取值范围【解答】解：f（）=1+m+m（）+=，令（0t1），则=，当且仅当时等号成立，即g（t）在（0，1）上必有最大值，m的范围为（，2）故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知变量x，y满足，则u=log2（2x+y）的最大值为2【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象先求出2x+y的最大值，从而求出u的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：易知可行域为一个三角形，由，解得A（1，2），令z=2x+y，得y=2x+z，显然直线过A（1，2）时，z最大，z的最大值是4，此时u=2，故答案为：214已知平面向量，的夹角为120，|=2，|=2，则与的夹角是60【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由题意求得和的值，可得|的值，再求出 （）=2设除与的夹角是，则由两个向量的数量积得定义求得（）=22cos，从而得到 22cos=2，解得cos 的值，可得的值【解答】解：由题意可得=22cos120=2，又=+2=4，|=2，（）=+=2设与的夹角是，则（）=|=22cos，22cos=2，解得cos=再由 0，可得 =60，故答案为6015已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于P（x1，2），Q（x2，y2）两点，则抛物线的准线方程为x=2【考点】抛物线的简单性质【分析】求得P的坐标为（，2），抛物线的焦点为F（，0），运用直线的斜率公式，可得p的方程，解得p=42，即可得到抛物线的准线方程【解答】解：将y=2，代入抛物线的方程可得x1=，即有P（，2），抛物线y2=2px的焦点F（，0），由斜率为1的直线l，可得=1，化为p2+4p8=0，解得p=42，则抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=216已知数列an的首项a1=1，且满足an+1an2n，anan+232n，则a2016=220161【考点】数列递推式【分析】an+1an2n，可得an+2an+12n+1，又anan+232n，可得an+1an2n，于是an+1an=2n，再利用“累加求和”方法即可得出【解答】解：an+1an2n，an+2an+12n+1，又anan+232n，an+1an2n，2nan+1an2n，an+1an=2n，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n1+2n1+2+1=2n1a2016=220161故答案为：220161三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA，a=2，4SABC=a2+b2c2（1）求角A；（2）求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由条件利用二倍角的余弦公式，求得cosA的值，可得A的值（2）由条件利用余弦定理求得tanC的值，可得C的值，利用正弦定理求得c的值，再根据ABC的面积S=acsinB，计算求得结果【解答】解：（1）ABC中，由cos2A=cosA得 2cos2AcosA1=0，所以，cosA=，或cosA=1因为0A，所以，cosA=，A=（2）由a=2，4SABC=absinC=a2+b2c2，可得2absinC=a2+b2c2，即sinC=cosC，即tanC=，C=又由正弦定理有=，可得c=2，又sinB=sin（）=，ABC的面积S=acsinB=18为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80 人数 525 3025 15表2：女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟）30，40）40，50）50，60）60，70）70，80 人数10 2040 2010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望表3上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟合计 男生 女生 合计附：k2=，其中n=a+b+c+d P（k2k0） 0.50 0.400.25 0.150.100.05 0.0250.010 0.0050.001k0 0.4550.708 1.3232.072 2.076 3.845.024 6.6357.879 10.828【考点】独立性检验的应用【分析】（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有，求解即可得出结论；（2）根据所给数据完成表3的22列联表，利用公式求出k2，与临界值比较，可得结论；（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，得到10人中上网时间少于60分钟的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，代入公式即可求出X的分布列和数学期望【解答】解（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有，解得x=180，估计其中上网时间不少于60分钟的有180人；（2）根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生6040100女生7030100合计13070200其中k2=2.706，故不能有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，10人中上网时间少于60分钟的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，则，所求分布列为X012P数学期望为19如图，已知三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，ABC为等边三角形，M为ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PBPA=OC，OP=OC（1）证明：AB平面POC；（2）求二面角POAB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出OC平面OAB，从而ABOC，取AB中点D，连结OD，PD则ABOD，ABPD，从而ABPO，由此能证明AB平面POC（2）过点P作PH平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，则PAH为二面角POAB的平面角，由此能求出二面角POAB的余弦值【解答】证明：（1）三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，OCOA，OCOB，又OAOB=O，OC平面OAB，又AB平面OAB，ABOC取AB中点D，连结OD，PD则ABOD，ABPD ODPD=D，AB平面POD，PO平面POD，ABPOABOC，OCPO=O，AB平面POC解：（2）由（1）知AB平面POD，平面OAB平面POD，且平面OAB平面POD=OD，过点P作PH平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，PA=，OP=，由OA=OB=OC，在POA中，OP2=PA2+OA2，OAPA，又PHOA，OA平面PAH，PAH为二面角POAB的平面角，在直角PHA中，cos，由（1）知AOD=45，OAH为等腰直角三角形，AH=OA=OC，cos=，二面角POAB的余弦值为 20已知曲线C1：=1（a0，b0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍（）求曲线C1的方程；（）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】（）由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为，利用曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，求出a，b，即可求曲线C1的方程；（）由于研究直线恒过定点，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x与直线AB斜率k无关），可证直线AC恒过定点就可解决【解答】（）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，=即a2=b2，a=b=1，曲线C1的方程为x2y2=1； （）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+ 与双曲线方程x2y2=1联立，可得（n21）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：yy2=（x） 令y=0，可得x= 直线AC过定点（，0） 21已知函数f（x）=x2alnxx（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（0x1x2），记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=2a，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）f（x）=2x1，分情况讨论，即可求函数f（x）的单调区间；（2）求出k=（x2+x1）1=2a，进而ln=，可得=0，a=与a矛盾，即可得出结论【解答】解：（1）依题意知函数的定义域为（0，+），f（x）=2x1=，t=2x2xa，=1+8a0，a，f（x）0，f（x）的单调递增区间为（0，+）；当a时，令f（x）0，得0x或x，故函数f（x）的单调递增区间为（0，），（，+）；令f（x）0，得0x，故函数f（x）的单调递减区间为（，）（2）f（x）有两个极值点x1，x2，x2+x1=，x2x1=，x1=，x2=k=（x2+x1）1=2a，=2，ln=，设t=，则y=lnt，y=1=0，函数在（1，1）上单调递增，=0，a=与a矛盾，故不存在选修4-1：几何证明选讲22如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP（1）证明：ADE=AED；（2）证明PC=PA【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）根据弦切角定理，得到BAP=C，结合PE平分APC，可得BAP+APD=C+CPE，最后用三角形的外角可得ADE=AED；（2）通过内角相等证明出APCBPA，根据AC=AP得到APC=C，结合（I）中的结论可得APC=C=BAP，再在APC中根据直径BC得到PAC=90+BAP，利用三角形内角和定理可得C=APC=BAP=30利用直角三角形中正切的定义，得到=，即可证明结论【解答】证明：（1）PA是切线，AB是弦，BAP=C又APD=CPE，BAP+APD=C+CPEADE=BAP+APD，AED=C+CPEADE=AED； （2）由（1）知BAP=C，又APC=BPA，APCBPA，AC=AP，BAP=C=APC，由三角形的内角和定理知：C+APC+PAC=180，BC是圆O的直径，BAC=90C+APC+BAP=90，C=APC=BAP=30，在RtABC中， =，=，PC=PA 选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，曲线C2：（为参数），曲线C3：（cos2sin）=7（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，利用cos2t+sin2t=1可得参数方程由曲线C2：（为参数），利用平方关系消去参数，可得普通方程由曲线C3：（cos2sin）=7，利用y=sin，x=cos即可化为直角坐标方程（2）设Q（4cos，3sin），Q到曲线C3的距离为d=（其中tan=）利用三角函数的单调性与值域即可得出【解答】解：（1）由曲线C1：（x3）2+（y2）2=1，可得参数方程： （t为参数）由曲线C2：（为参数），消去参数，可得普通方程： =1由曲线C3：（cos2sin）=7，可化为直角坐标方程：x2y7=0（2）设Q（4cos，3sin），Q到曲线C3的距离为d=（其中tan=）0，2），当sin（）=1时取得最大值，d的最大值为选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|x1|+|x+1|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）a+2xx2在R上恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得|x1|+|x+1|2x+x2a 恒成立，令g（x）=|x1|+|x+1|+x22x，依据单调性求得g（x）的最小值，可得a的范围【解答】解：（1）原不等式等价于，或，或解x求得，解求得 x，解求得 x，不等式的解集为x|x，或 x（2）f（x）a+2xx2在R上恒成立，即|x1|+|x+1|2x+x2a 恒成立，令g（x）=|x1|+|x+1|+x22x=，当x（，1时，g（x）单调递减，当x1，+）时，g（x）单调递增，所以当x=1时，g（x）的最小值为1由题意可得1a，即a1，实数a的取值范围是（，1）