高二数学上学期期中试题30

温州中学2016学年第一学期高二期中考试数学试题本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。 参考公式： 柱体的体积公式：其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式：其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式：其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高球的表面积公式：球的体积公式： 其中表示球的半径 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若全集，则集合等于（ ）ABC D2若命题，命题是奇函数，则是的（ ）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件3在等比数列中，则（ ）ABC D4已知函数，设，则是（ ）A奇函数，在上单调递减 B偶函数，在上递减，在上递增C奇函数，在上单调递增 D偶函数，在上递增，在上递减5设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）ABCD6在平面上，.动点满足，且，则点的轨迹是（ ）A线段 B圆 C椭圆 D双曲线7设为椭圆与双曲线的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD8函数，定义，已知函数有8个零点，则的值为（ ）A B C D非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分。9设函数，则该函数的最小正周期为 ，在的最小值为 。10正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如右图，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 ，该正四面体的体积为 11若点为抛物线上一点，则抛物线焦点坐标为 ；若双曲线经过点P，且与抛物线共焦点，则双曲线的渐近线方程为 12已知平面向量，满足，且与的夹角为，则的最小值是 已知，向量满足，则的最大值为 .13已知数列满足，则该数列的前项和为 14如果是函数图像上的点，是函数图像上的点，且，两点之间的距离能取到最小值，那么将称为函数与之间的距离.按这个定义，函数和之间的距离是 15各棱长都等于4的四面体ABCD中，设G为BC的中点，E为内的动点（含边界），且，若,则= .三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（本题满分15分）在中，角,，所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求面积最大值17（本题满分14分）设函数，（其中，b为任意常数。（I）若，在有两个不同的解，求实数的范围。（II）当，时，求的最大值18（本题满分15分）三棱柱的侧面为正方形，侧面侧面，且，、分别为、的中点（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值19（本题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，为椭圆的右焦点，为椭圆内一点，轴（1）求椭圆的方程；（2）过点做斜率为的两条直线分别与椭圆交于点，和，若满足，问是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由20（本题满分15分）已知数列满足：，.（1）求最小的正实数，使得对任意的，恒有；（2）求证：对任意的正整数，恒有.温州中学2016学年第一学期高二期中考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DBDCBBAC二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分。9 ，10 11 12 、18 1377 14 15 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16解：（1），故，。（2）， 面积的最大值为，但且仅当为等边三角形时成立。17 （I） -1分当时，则，即，解得-3分当时，则，即令，因为，只要即可 -5分所以 -6分(II)设的最大值为M当，函数在递减函数， -8分当，函数在递增函数， -10分当时，即时，（）当时，即则，则所以 -12分 ()当时，即时，可得，即则所以 -14分综上，当，18 （1）证明：，故。又，故，又侧面侧面故平面。，故平面（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系。，则平面的法向量为平面的法向量为余弦值为19（1）椭圆方程为（2）设，与椭圆联立，得，同理，。故，20（1）由于，由此我们可以猜想为单调递减数列，因此我们猜测的最小值为1，下面我们证明.，故当时，数列为单调递减数列，从而.，由于，且当时，有从而对任意的，恒有，又由于，从而所求的最小正实数.事实上，由于，假设时，则当时，考虑到，从而，.从而，从而由数学归纳法原理得：对任意的，恒有.又由于，从而所求的最小正实数.（2）由于，则，从而数列是单调递减的正项数列.一方面，从而另一方面，从而，左右同除得：，即设（也可利用错位相减法求解，两式相减得，从而）从而由，得，当时，从而，即，即当时，又当时，从而对任意的，恒有.综上所示，对任意的正整数，恒有.