高考大题分层练 5 解析几何、函数与导数(A组) 理 新人教版

高考大题分层练 5.解析几何、函数与导数(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知抛物线C：y2=2px(p0)过点M(m，2)，其焦点为F，且=2.(1)求抛物线C的方程.(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x-1)2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点.【解析】(1)抛物线C的准线方程为：x=-，所以=m+=2，又因为4=2pm，即4=2p，所以p2-4p+4=0，所以p=2.抛物线C的方程为y2=4x.(2)设点E(0，t)(t0)，由已知切线不为y轴，设EA：y=kx+t，联立消去y，可得k2x2+(2kt-4)x+t2=0，因为直线EA与抛物线C相切，所以=(2kt-4)2-4k2t2=0，即kt=1，代入x2-2x+t2=0，所以x=t2，即A(t2，2t)，设切点B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=-tx+t对称，则解得：即B.方法一：直线AB的斜率为kAB=(t1)，直线AB的方程为y=(x-t2)+2t，整理y=(x-1)，所以直线AB过定点恒过定点F(1，0)，当t=1时，A(1，2)，B(1，1)，此时直线AB为x=1，过点F(1，0).综上，直线AB过定点恒过定点F(1，0).方法二：直线AF的斜率为kAF=(t1)，直线BF的斜率为kBF=(t1)，所以kAF=kBF，即A，B，F三点共线，当t=1时，A(1，2)，B(1，1)，此时A，B，F共线.所以直线AB过定点F.2.已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax.(a0)(1)若f(x)在x=0处取得极值，求a的值.(2)讨论f(x)的单调性.(3)证明：(nN*，e为自然对数的底数).【解析】(1)因为f(x)=+a，因为x=0是f(x)的一个极值点，则f(0)=0，所以a=0，验证知a=0符合条件(2)因为f(x)=+a=，若a=0，所以f(x)在(0，+)单调递增，在(-，0)单调递减；若当a-1时，f(x)0对xR恒成立，所以f(x)在R上单调递减；若-1a0得ax2+2x+a0，所以x，再令f(x)或x，所以f(x)在上单调递增，在和上单调递减，综上所述，若a-1，f(x)在(-，+)上单调递减；若-1a0，f(x)在(，)上单调递增，和上单调递减；若a=0，f(x)在(0，+)单调递增，在(-，0)单调递减.(3)由(2)知，当a=-1时，f(x)在(-，+)单调递减，当x(0，+)时，由f(x)f(0)=0，所以ln(1+x2)x，所以ln=ln+ln+ln+=，所以=(nN*，e为自然对数的底数).