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第四章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】 知识点、方法题号圆的方程2、6、8、13直线与圆相交问题4、5、15、16直线与圆相切问题7、11、14、19圆与圆的位置关系3、17圆的方程综合应用问题10、12、20空间直角坐标系1、9、18一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.点P(3,0,4)在空间直角坐标系中的位置是(C)(A)y轴上 (B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)yOz平面上解析:点P的纵坐标为0,故P在xOz平面上.2.圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为(D)(A)(0,2),2(B)(2,0),4(C)(-2,0),2(D)(2,0),2解析:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,故圆心为(2,0),半径为2,选D.3.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是(D)(A)相交(B)相离(C)内含(D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d=2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.4.(2015葫芦岛期末)过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为(A)(A)3x-y-5=0(B)3x+y-7=0(C)x+3y-5=0(D)x-3y+1=0解析:依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得=,即3x-y-5=0,故选A.5.(2015江西上高二中月考)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为(D)(A)-,4(B),4(C)-,-4(D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2k=-1,解得k=,故选D.6.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为(C)(A)1或-2(B)2或-1(C)-1(D)2解析:若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则有a2=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时,原方程可变为2x2+2y2+2x+1=0,配方,得2(x+)2+2y2=-,不表示圆;当a=-1时,原方程可变为x2+y2-2x-1=0,配方,得(x-1)2+y2=2,它表示以(1,0)为圆心,为半径的圆.故选C.7.(2015吉林高一学业水平检测)圆(x-2)2+y2=4过点P(1,)的切线方程是(D)(A)x+y-2=0(B)x+y-4=0(C)x-y+4=0(D)x-y+2=0解析:圆(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0).因为点P(1,)在圆(x-2)2+y2=4上,kCP=-,所以过点P的切线的斜率为k=.故切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0,故选D.8.已知圆C1:(x+2)2+(y-2)2=2,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(D)(A)(x+3)2+(y-3)2=2(B)(x-1)2+(y+1)2=2(C)(x-2)2+(y+2)2=2(D)(x-3)2+(y+3)2=2解析:设点(-2,2)关于直线x-y-1=0的对称点为Q(m,n),则解得m=3,n=-3,所以圆C2的圆心坐标为(3,-3),所以圆C2的方程为(x-3)2+(y+3)2=2,故选D.9.关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法:点P到坐标原点的距离为;OP的中点坐标为(,1,);与点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3);与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3);与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,-3).其中正确的个数是(A)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:点P到坐标原点的距离为=,故错;正确;与点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故错;与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故错;正确,故选A.10.已知定点Q(3,0),当点P在圆x2+y2=1上运动时,线段PQ的中点的轨迹方程是(C)(A)(x+3)2+y2=4 (B)(x-3)2+y2=1(C)(2x-3)2+4y2=1(D)(2x+3)2+4y2=1解析:设P(x1,y1),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则x=,y=,所以x1=2x-3,y1=2y.又点P(x1,y1)在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1,故选C.11.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(B)(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心坐标为(a,b),(a0,b0),由圆与x轴相切得b=r=1,又直线4x-3y=0与圆相切,所以=1,a=2或a=-(舍去).故圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,选B.12.(2015银川一中期末)曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是(D)(A)(0,)(B)(,+)(C)(,(D) (, 解析:如图所示,曲线y=1+变形为x2+(y-1)2=4(y1),直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),当直线l与半圆相切时,有=2,解得k=.当直线l过点(-2,1)时,k=.因此,k的取值范围是（,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=.解析:由题意可知,直线x-y+2=0过圆心(-1,-),所以-1-(-)+2=0,a=-2.答案:-214.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为 .解析:令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0).设圆C的半径为r,则有r=,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=215.(2015陕西府谷三中月考)过点P(2,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当ACB最小时,直线l的方程为.解析:当且仅当CPl时,ACB最小,又CP的斜率为1,所以直线l的斜率为-1,故l的方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=016.(2015江西广昌一中月考)已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时,则a等于.解析:由题可得=,得a=-1或a=-1(舍).答案:-1三、解答题(本大题共4小题,共40分)17.(本小题满分10分)点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN|的最大值.解:把圆的方程都化成标准形式,得(x+3)2+(y-1)2=9,(x+1)2+(y+2)2=4.如图所示,C1的坐标是(-3,1),半径长是3;C2的坐标是(-1,-2),半径长是2.所以,|C1C2|=.因此,|MN|的最大值是+5.18.(本小题满分10分)(2015安康旬阳一中月考)如图所示,已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形,PD平面ABCD,PD=4,M为PB的中点,N在线段AB上,求当|MN|最短时,N点所处的位置.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,0,4).因为M点为PB的中点,所以M(2,2,2).又N在线段AB上,所以N(4,b,0)(0b4).所以|MN|=.所以当b=2时|MN|min=4.此时N为AB的中点,所以当N为AB的中点时|MN|最短.19.(本小题满分10分)已知ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.(1)求ABC的顶点B、C的坐标;(2)若圆M经过A、B且与直线x-y+3=0相切于点P(-3,0),求圆M的方程.解:(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,所以,AC:x=0,又CD:2x-2y-1=0,所以,C(0,-),设B(b,0),则AB的中点D(,),代入方程2x-2y-1=0,解得b=2,所以B(2,0).(2)由A(0,1),B(2,0)可得,圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,由与x-y+3=0相切,切点为(-3,0)可得,圆心所在直线方程为y+x+3=0,联立可得,M(-,-),半径|MA|=,所以所求圆方程为x2+y2+x+5y-6=0.20.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解:(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d=1,结合点到直线距离公式,得=1,化简得24k2+7k=0,k=0,或k=-,所求直线l的方程为y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0,因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等.故有=,化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.因为关于k的方程有无穷多解,有 或解之得点P坐标为(,-)或(-,).
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