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第二章随机变量及其分布,2.1随机变量,例电话总机某段时间内接到的电话次数,可用一个变量X来描述：,X=0,1,2,例考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以X记灯泡的寿命（以小时计）则：,X=t,(t0),例检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个变量来描述:,设是随机试验E的样本空间,若,定义,则称上的单值实值函数X()为随机变量,随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,或小写希腊字母,表示,此映射具有如下特点:,定义域事件域；,随机性随机变量X的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；,概率特性X以一定的概率取某个值或某些值。,引入随机变量的意义,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量。,收到不少于1次呼叫,没有收到呼叫,可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。,随机变量分类,2.2离散型随机变量及其分布律,定义,若随机变量X的可能取值是有限个或可列无限多个,则称X为离散型随机变量。,一、概念,例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额X。,X的可能取值为：,解：,4000，400，40，4，0。,.0001,.0006,描述X的概率特性常用概率分布或分布律,即,或,分布律的性质,例1一批产品的次品率为8%,从中抽取1件进行检验,令写出X的分布律.,X的分布律为:,概率分布图:,解：,1.两点分布(01分布),分布律为：,或,二、几种重要的离散型随机变量,应用场合,凡试验只有两个可能结果,常用01分布描述,如产品是否合格,人口性别统计,系统是否正常,电力消耗是否超标等。,10件产品中，有3件次品，任取两件，X是“抽得的次品数”，求分布律。,X可能取值为0，1，2。,例2,解：,所以，X的分布律为：,注求分布律，首先弄清X的确切含义及其所有可能取值。,2.二项分布,伯努利试验和二项分布,设试验E只有两个结果：和，记:则称试验为伯努利试验。,考虑可以用何种分布来描述伯努利试验的结果？,答（0-1）分布,例3设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数，求X的概率分布。,将E独立地重复n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利(Bernoulli)试验，简称为伯努利(Bernoulli)试验,X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数,生男孩的概率为p.,X=0,X=1,X=2,X=3,X=4,在n重伯努利试验中,事件A可能发生0,1,2,n次,称X服从参数为p的二项分布。,记作：,当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1即0-1分布,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，,伯努利试验的结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,且P(A)=p，；,（3）各次试验相互独立。,二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布。,当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值；,当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值。,例4已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。,解:,依题意，p=0.05,设X为所取的3个中的次品数。,于是，所求概率为：,例5设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。,X=第1人维护的20台中同一时刻故障台数；Ai：第i人维护的20台故障不能及时维修”（i1,2,3,4）；,解：按第一种方法。,而Xb（20,0.01），故有80台中发生故障而不能及时维修的概率为：,设：Y=80台中同一时刻发生故障的台数；,按第二种方法。,N)N),n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似,查泊松分布表得,N+19,即N8,即至少需配备8个维修人员.,例3某地的“天天彩”中奖率为p,某人每天买1张,若不中奖第二天继续买1张,直至中奖为止。求该人购买次数X的分布律。,X=k表示购买了k张,前k-1张都未中奖,第k张中了奖。,补充.几何分布,适用于试验首次成功的场合,解：,例4一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。,依题意,X可取值0,1,2,3。,PX=0,=P(A1)=,p=1/2,概率分布：,当随机变量为非离散型时以上方法失效。,此时，我们研究随机变量在某区间上的概率。,
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