高中数学 第一章 导数及其应用习题 苏教版选修2-2

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用习题 苏教版选修2-21变化率与导数1变化率函数的平均变化率为，它是用来刻画函数值在区间x0，x1上变化快慢的量式中x，y的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，y的值为0，但x不能为0.当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率2导数的概念及其几何意义函数yf(x)在x0点的导数即为函数yf(x)在x0点的瞬时变化率，即当x趋于0时，函数值y关于x的平均变化率的极限值；x趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零函数yf(x)在x0点处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即f(x0)ktan ，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量例1如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则ff(0)_；f(1)_.(用数字作答)解析由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)2x4(0x2)同理线段BC的方程为f(x)x2(2x6)所以f(x)所以f(0)4，ff(0)f(4)2，f(1)2.答案22例2函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是_0f(2)f(3)f(3)f(2)0f(2)f(3)f(2)f(3)0f(3)f(3)f(2)f(2)0f(3)f(2)f(2)f(3)解析根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2)及A(3，f(3)处的切线的斜率由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0f(3)f(2)另一方面，这两点的平均变化率为f(3)f(2)，其几何意义为割线AB的斜率由图，可知0f(3)f(3)f(2)0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立a(2x3)min.x2，)，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范围是a16.点评已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(递减)等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f(x)0是否有有限个解2利用函数的单调性证明不等式欲证明不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x)成立，可以构造函数(x)f(x)g(x)，利用导数进行证明例3已知x0，求证：ex1x.证明设函数f(x)ex(1x)，则f(x)ex1.当x0时，exe01，所以f(x)ex10.所以f(x)在(0，)上是增函数所以当x0时，f(x)f(0)又f(0)e0(10)0，所以f(x)0，即ex(1x)0.故ex1x.点评若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明3利用函数的单调性判断方程根的个数若f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0)在区间和区间(1，e)内有无零点分析可通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数解因为f(x).所以当x(3，)时，yf(x)是增函数；当x(0,3)时，yf(x)是减函数而01e0，f(1)0，f(e)10，所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.4导数问题易错点剖析一、剖析导数运算中的常见错误1对f(x0)与f(x)理解有误例1已知函数f(x)x22xf(1)，则f(0)的值为_错解由f(x)x22xf(1)得f(0)0.所以f(0)0.错因分析解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f(1)是常数.正解由f(x)x22xf(1)得，f(x)2x2f(1)所以f(1)212f(1)所以f(1)2.从而f(x)2x4.所以f(0)4.2切点位置的确定有误例2求过点P(1,0)且与曲线f(x)x3x相切的直线的方程错解由题意知点P(1,0)在曲线上因为f(x)3x21，所以f(1)2.所以切线方程为y02(x1)，即2xy20.错因分析点P(1，0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P(1，0)当作切点显然是错误的.求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P处的切线方程(一定是以点P为切点)；(2)曲线过点P的切线方程(无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点).正解设切点为(x0，xx0)，则过该点的切线方程为y(xx0)(3x1)(xx0)由切线过点P(1,0)得：0(xx0)(3x1)(1x0)，整理得2x3x10.即(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.所以切线方程为2xy20或x4y10.3对切线定义的理解有误例3已知曲线C：yf(x)x3，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y4x4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由错解由于直线y4x4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点错因分析“切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立正解由消去y整理得：x312x160，即(x2)(x22x8)0.所以(x2)2(x4)0，解得x2或x4.所以交点的坐标为(2,4)，(4，20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(4，20)二、剖析导数应用中的常见错误1将函数单调性的充分条件误认为是充要条件例4已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求实数a的取值范围错解f(x)3ax26x1.因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)3ax26x10.所以解得a3.故实数a的取值范围为(，3)错因分析“f(x)0(x(a，b)”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的充分条件而不是充要条件，如f(x)x3在R上单调递减，但f(x)3x20.正解f(x)3ax26x1.(1)当f(x)0时，f(x)是减函数，所以f(x)3ax26x10.所以解得a1时，f(x).分析由于f(x)1ex1，1，因此要证f(x)，只需证明ex1x.所以我们构造新函数，利用函数的极值进行证明证明令g(x)exx1，则g(x)ex1.解方程ex10，得x0.当x变化时，g(x)，g(x)变化情况如下表：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)0从表上看出，当x0时，函数有极小值，且g(0)0.因而当xR时，有g(x)g(0)0，即ex1x.所以当x1时，有f(x)1ex11，即f(x).点评本题通过构造函数，使问题的解决变得简捷3数形结合思想例3已知曲线f(x)x33x29xa与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围分析先用导数求出函数的单调区间和极值，再根据单调性画出大致图象，利用数形结合思想求解解f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极小值极大值所以当x1时，f(x)有极小值f(1)a5；当x3时，f(x)有极大值f(3)a27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)所以a270.解得a5.故实数a的取值范围为a5.点评数形结合思想是中学数学的一种重要思想画出图象可以加强直观性，便于对问题的理解4分类讨论思想例4求函数f(x)ax33x21的单调区间分析利用导数求函数的单调区间，一般先确定函数的定义域，再求导函数，最后根据导数大于0或小于0得单调增区间或单调减区间如果函数中含有参数，则应分类讨论解f(x)3ax26x.由题意，得a0.当a0时，由3ax26x0，解得x；由3ax26x0，解得0x.所以f(x)的单调增区间为(，0)和，单调减区间为.当a0，解得x0；由3ax26x0，解得x0.所以f(x)的单调增区间为，单调减区间为和(0，)点评注意本题中隐含了a0的条件a在导函数的二次项系数中，a的正负决定了不等式的解集，因此要对a分大于0和小于0两种情况进行讨论.6研析三次函数的单调性与极值我们知道，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可以用判别式b24ac来判断，那么一元三次方程ax3bx2cxd0(a0)的根的情况又是怎样的呢？要解决这个问题，只要能够画出函数yax3bx2cxd的大致图象，通过图象与x轴的交点的情况便可得到方程的根的情况而要画出函数yax3bx2cxd的大致图象，就要研究该函数的单调性和极值情况，因此可以利用导数来研究三次函数求导后变为二次函数，所以三次函数的许多性质可以借助二次函数来解决对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，其导函数为f(x)3ax22bxc，有以下结论：(1)当a0时，若x，则f(x)；若x，则f(x)；当a0，则f(x)在R上是增函数；若a0时，设f(x)0的两根x10时，f(x)的递增区间有两个，为(，x1)和(x2，)，递减区间有一个，为(x1，x2)，xx1是极大值点，xx2是极小值点；当a00a0a0且a1)；(6)ex的一个原函数为ex；(7)的一个原函数为ln x(x0)温馨提示一个被积函数的原函数不是唯一的，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用f(x)dxF(b)F(a)求值，只需找一个最简单的原函数即可8怎样求解定积分？用微积分基本定理求定积分f(x)dx时，关键是找到满足F(x)f(x)的F(x)，但在求解函数F(x)时经常会遇到计算上的复杂，或者找不到函数F(x)等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法1几何法例1求定积分(x)dx的值分析本题用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦由(x)dx联想到圆(x1)2y21的一部分与直线yx，用定积分的几何意义进行求解则比较简捷解(x)dx表示圆(x1)2y21的一部分与直线yx所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积，因此(x)dx11.点评数形结合思想在这里得到了充分的体现运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力2函数性质法例2求 lgdx的值解记f(x)lg，易知定义域为(1,1)，因为f(x)lglg()1f(x)，所以f(x)是奇函数，因此有lgdx0.点评从定积分的定义(或几何意义)可知：偶函数f(x)有f(x)dx2f(x)dx；奇函数f(x)有f(x)dx0.3转化法例3计算定积分sin2dx的值解sin2dxdxdxcos xdxxsin x0sinsin 0.点评较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分4分段法例4求定积分1x|x|dx的值解因为f(x)x|x|所以1x|x|dx1(x2)dxx2dx.点评这类积分不能直接求解，需要变换被积函数从而去掉绝对值5换元法例5求抛物线y22x与直线yx4围成的平面图形的面积解方法一选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和解，得所以交点为A(2，2)，B(8,4)选取x为积分变量，则0x8.因此S2dx(x4)dx18.方法二选取纵坐标y为积分变量，则2y4，所求图中阴影部分的面积为S2dy18.点评从上述两种解法中可以看出，对y积分比对x积分计算简捷因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要但同时也要注意对y积分时，积分函数应是x(y)，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x，xy4的形式，然后求面积9利用定积分求面积1巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便例1求直线y2x3与抛物线yx2所围成的图形的面积分析解此类题的一般步骤是：画草图；解方程组求出交点；确定积分的上、下限；计算解画出图象如图所示，解方程组得A(1,1)，B(3,9)故所求图形的面积为1(2x3x2)dx.点评本题若选纵坐标y为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变2妙用对称在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段例2求由两条曲线yx2,4yx2和直线y1所围成的图形的面积分析先画图象，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解解如图，因为yx2,4yx2是偶函数，根据对称性，只需算出y轴右边的图形的面积再乘以2即可解方程组和得交点坐标(1,1)，(1,1)，(2,1)，(2,1)所以S22.点评巧用对称性能简化解题3恰到好处的分割例3求两曲线ysin x与ysin 2x在0，上围成的图形的面积分析先画图象，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积解如图，令sin xsin 2x，得交点的横坐标为x0，x，x.由图形分割，得S0(sin 2xsin x)dx(sin xsin 2x)dx.点评类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法4进行适当转换例4求正弦曲线ysin x，x0，和直线x及x轴围成的平面图形的面积解由图可知，当x0，时，曲线ysin x位于x轴的上方，当x，时，曲线ysin x位于x轴的下方因此所求面积应为两部分面积的和，即S0|sin x|dxsin xdxsin xdxcos x213.点评对于yf(x)和xa，xb(a0，则f(x)dx0，Sf(x)dx；(2)若f(x)0，则f(x)dx；(3)若acb，当axc时，f(x)0，则f(x)dx0，所以Sf(x)dxf(x)dx.