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第二章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】 知识点、方法题号点线面位置关系1、2、3线面垂直、平行的判定5、6、8、9、13、14、17空间角4、7、10、15综合问题11、12、16、18、19、20一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015河源市高二期中)若直线a与平面垂直,那么平面内与直线a平行的直线有(A)(A)0条 (B)0条或无数条(C)无数条(D)不确定解析:因为直线a与平面垂直,假设直线b,则ab,得平面内与直线a平行的直线不存在,所以有0条.故选A.2.(2015北京市房山区高二期中)下列说法不正确的是(D)(A)空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形(B)同一平面的两条垂线一定共面(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A、B、C显然正确.易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直.选D.3.(2015太原五中高二月考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(B)(A)l1l2,l2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面解析:对于A,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,故A错;对于B,因为l1l2,所以l1,l2所成的角是90,又因为l2l3,所以l1,l3所成的角是90,所以l1l3,故B对,对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错.对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选B.4.(2015山西山大附中高二期中)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于(B)(A)45(B)60(C)90(D)120解析:如图,连接A1B、BC1、A1C1,则A1B=BC1=A1C1,且EFA1B、GHBC1,所以异面直线EF与GH所成的角等于60,故选B.5.设l为直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是(B)(A)若l,l,则(B)若l,l,则(C)若l,l,则(D)若,l,则l解析:选项A,平行于同一条直线的两个平面也可能相交,故选项A错误;选项B,垂直于同一直线的两个平面互相平行,选项B正确;选项C,由条件应得,故选项C错误;选项D,l与的位置不确定,故选项D错误.故选B.6.(2015洛阳伊滨一中月考)如图ADB和ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形,且BAC=60,下列说法中错误的是(D)(A)AD平面BDC(B)BD平面ADC(C)DC平面ABD(D)BC平面ABD解析:由题可知,ADBD,ADDC,所以AD平面BDC,又ABD与ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,所以AB=AC,BD=DC=AB.又BAC=60,所以ABC为等边三角形,故BC=AB=BD,所以BDC=90,即BDDC.所以BD平面ADC,同理DC平面ABD.所以A、B、C项均正确.选D.7.(2015郑州思齐实验中学月考)如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,BAC=90,则二面角BPAC的平面角是(A)(A)90(B)60(C)45(D)30解析:因为PA平面ABC,所以PAAB,PAAC.所以BAC为二面角BPAC的平面角,又BAC=90,故选A.8.(2015开封实验高中月考)在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是(D)(A)平面ABD平面BDC(B)平面ABC平面ABD(C)平面ABC平面ADC(D)平面ABC平面BED解析:因为AB=BC,E为AC的中点,所以ACBE,同理ACED,又BEED=E,所以AC平面BED,又AC平面ABC,所以平面ABC平面BED.选D.9.(2015淮安一中月考)在四面体PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,下列结论中不成立的是(D)(A)BC平面PDF(B)BC平面PAE(C)DF平面PAE(D)AE平面APC解析:因为D,F分别为AB,AC的中点,所以DFBC,故BC平面PDF,故A项正确,又AB=AC,PB=PC,E为BC的中点,所以AEBC,PEBC,所以BC平面PAE,又DFBC,所以DF平面PAE,故B、C项正确,由于AE与AP不垂直,故AE与平面APC不垂直.选D.10.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角为(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:如图,在正四棱锥SABCD中,SO底面ABCD,E是BC边中点,则SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得SO=3,OE=,tanSEO=,所以SEO=60,故选C.11.(2015临汾市曲沃二中高二期中)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(C)(A)CC1与B1E是异面直线(B)AC平面ABB1A1(C)AE,B1C1为异面直线,且AEB1C1(D)A1C1平面AB1E解析:A不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;B不正确,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能存在AC平面ABB1A1;C正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线;D不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1平面AB1E不正确.故选C.12.(2014洛阳高一期末)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,现有下列结论:ACBE;平面AEF与平面ABCD的交线平行于直线EF;异面直线AE,BF所成的角为定值;三棱锥ABEF的体积为定值,其中错误结论的个数是(B) (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:在正方体中可得AC平面BDD1B1,故ACBE,正确;平面AEF平面A1B1C1D1=EF,设平面AEF平面ABCD=l,由平面ABCD平面A1B1C1D1知EFl,即正确;当F在B1的位置时,E为B1D1的中点O,A1AO为异面直线AE,BF所成的角,当E在D1的位置时,F在O的位置,OBC1为AE与BF所成的角,因为A1AOOBC1,所以不正确;SBEF为定值,A到平面BEF的距离即为A到平面BB1D1的距离为定值,即正确.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a、b、c表示直线,表示平面,给出下列四个命题:若a,b,则ab若b,ab,则a若ac,bc,则ab若a,b,则ab正确命题的序号为.解析:当a,b时,a与b的关系不确定,即不正确;当b,ab时,a也可能在内,即不正确;当ac,bc时,a与b的关系不确定,即不正确;由线面垂直的性质定理知正确.答案:14.(2015河南郑州思齐实验中学月考)如图,在四面体ABCD中,BC=CD,ADBD,E,F分别为AB,BD的中点,则BD与平面CEF的位置关系是.解析:因为E,F为AB,BD的中点,所以EFAD.又ADBD,所以EFBD.又BC=CD,F为BD的中点,所以CFBD,又EFCF=F,所以BD平面CEF.答案:垂直15.已知正四棱锥PABCD(底面是正方形且顶点P在底面的射影为底面中心)中,PA=2,AB=,M是侧棱PC的中点,则异面直线PA与BM所成的角的大小为.解析:连接AC、BD交于O,连接OM、OP,则PO平面ABCD,OMAP,所以BMO为异面直线PA与BM所成的角或补角,在正方形ABCD中,ACBD.因为PO平面ABCD且BD平面ABCD,所以POBD,又ACPO=O,AC平面PAC,PO平面PAC,所以BD平面PAC,所以BDOM,在RtOBM中,OM=1,OB=1,所以BMO=45,所以异面直线PA与BM所成的角的大小为45.答案:4516.(2015安庆市石化一中高二期中)如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:三棱锥AD1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题的序号是.解析:如图,对于,容易证明AD1BC1,从而BC1平面AD1C,故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,所以以P为顶点,平面AD1C为底面的三棱锥的体积不变,即三棱锥AD1PC的体积不变,正确;对于,连接A1B,A1C1,容易证明A1C1AC,由知,AD1BC1,所以平面BA1C1平面ACD1,从而由线面平行的定义可得,正确;对于由于DC平面BCC1B1,所以DCBC1,若DPBC1,则BC1平面DCP,BC1PC,则P为中点,与P为动点矛盾,错误;对于,连接DB1,由DB1AC且DB1AD1,可得DB1平面ACD1,从而由面面垂直的判定知正确.答案:三、解答题(本大题共4小题,共40分)17.(本小题满分10分)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1底面ABCD,且底面ABCD为菱形,F为BB1的中点,M为线段AC1的中点,求证:(1)MF平面ABCD;(2)MF平面A1ACC1.证明:(1)取AC的中点O,连接MO,因为M,O分别为AC1,AC的中点,所以MOCC1.又F为BB1的中点,所以BFCC1.所以MOBF.所以四边形MOBF为平行四边形.所以MFBO,又MF平面ABCD,BO平面ABCD,所以MF平面ABCD.(2)因为F为BB1的中点,易得AF=C1F,又M为AC1的中点,所以MFAC1.又四边形ABCD为菱形,所以BOAC.又MFBO,所以MFAC.又AC1AC=A,所以MF平面A1ACC1.18.(本小题满分10分)(2015榆林一中等四校联考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1底面ABC,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.(1)求证:ACB1C;(2)求证:AC1平面CDB1;(3)求这个三棱柱的表面积.(1)证明:因为AB2=AC2+BC2,所以ACB=90,ACBC,又CC1底面ABC,所以CC1AC,CC1BC=C,所以AC平面BB1C1C.因为B1C平面BB1C1C,所以ACB1C. (2)证明:连接BC1交B1C于点O,连接OD.因为四边形BB1C1C为矩形,所以点O为BC1的中点.又因为点D为AB的中点,所以ODAC1.因为OD平面CDB1,AC1平面CDB1,所以AC1平面CDB1.(3)解:S表=(9+12+15)12+2912=540.19.(本小题满分10分)(2015运城市康杰中学高二期中)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱CC1底面ABC,且侧棱和底面边长均为2,D是BC的中点. (1)求证:平面AB1D平面BB1C1C;(2)求证:A1B平面ADC1;(3)求直线C1A与平面AB1D所成的角的正弦值.(1)证明:因为CC1平面ABC,又AD平面ABC,所以CC1AD.因为ABC是正三角形,D是BC的中点,所以ADBC,又BCCC1=C,所以AD平面BB1C1C,因为AD平面AB1D,所以平面AB1D平面BB1C1C.(2)证明:如图,连接A1C交AC1于点O,连接OD.由题得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点,又D为BC的中点,所以A1BOD.因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1所以A1B平面ADC1.(3)解:由(1)得平面AB1D平面B1C1D,在平面B1C1D内过C1作C1EB1D于E,连接AE,则C1AE为直线C1A与平面AB1D所成的角,在C1B1D中,B1DC1E=B1C1CC1,所以C1E=,在RtC1CA中,CC1=CA=2,得C1A=2,所以sin C1AE=.20.(本小题满分10分)如图,在三棱锥SABC中, SC平面ABC,点P、M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,ACB=90,直线AM与直线SC所成的角为60.(1)求证:平面MAP平面SAC.(2)求二面角MACB的平面角的正切值.(1)证明:由ACB=90,得ACBC,由P、M分别为SC,SB的中点得PMBC,所以PMAC,又SC平面ABC,所以SCBC,SCPM,又SCAC=C,所以PM平面SAC,PM平面MAP,所以平面MAP平面SAC.(2)解:因为SC平面ABC,所以SCAC,又ACBC,所以AC平面SBC,所以MCB是二面角MACB的平面角.取BC的中点D,连接MD,AD,则MDSC,所以AMD为直线AM与SC所成的角,AMD=60,在RtACD中,AC=CD=1,则AD=,由tan 60=,得MD=,在RtCDM中,tanMCD=,即二面角MACB的平面角的正切值为.
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