高中数学 第3章 导数应用 2_2 最大值、最小值问题课后演练提升 北师大版选修2-2

2016-2017学年高中数学 第3章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题课后演练提升 北师大版选修2-2一、选择题1给出下列四个命题：若函数f(x)在a，b上有最大值，则这个最大值一定是a，b上的极大值；若函数f(x)在a，b上有最小值，则这个最小值一定是a，b上的极小值；若函数f(x)在a，b上有最值，则最值一定在xa或xb处取得；若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值其中真命题共有()A0个B1个C2个D3个解析：因为函数的最值可以在区间a，b的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题与不真由于最值可以在区间内部取得，故命题也不真对于命题，我们只要考虑在(a，b)内的单调函数，它在(a，b)内必定无最值(也无极值)，因此命题也不真综上所述，四个命题均不真，故选A.答案：A2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A5 cmB8 cmC10 cmD12 cm解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得Vx(482x)2(0x24)，V12(24x)(8x)令V0，则在(0,24)内有x8，故当x8时，V有最大值答案：B3函数f(x)2sin xx在上的最大值点及最大值是()A.，B0,0C.，2D0,2解析：f(x)2cos x1，x时，f(x)0x时f(x)0，为最大值点，f为函数的最大值答案：A4已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上f(x)3恒成立，那么在2,2上，f(x)min()A37B5C37D5解析：f(x)6x212x6x(x2)当x2,0时f(x)0当x0,2时f(x)0f(x)maxf(0)m，m3又f(2)40m，f(2)8mf(x)minf(2)40m37.答案：A二、填空题5某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2.最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)_元解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以，L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元答案：23 0006函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_解析：f(x)3x23a，f(x)在(0,1)内有最小值，则f(x)在(0,1)内有极小值点方程f(x)3x23a0应有实根，a0，x.显然x应是(0,1)间的极小值点，01,0a1.答案：(0,1)三、解答题7设函数f(x)ln(2x1)x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解析：f(x)的定义域为.(1)f(x)2x.当x0；当x1时，f(x)0.则f(x)在区间上单调递增，在区间(1，)上单调递减(2)由(1)知f(x)在区间上的最大值为f(1)ln(211)121.又ff1ln 30.所以f(x)在区间上的最小值为fln 2.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和ln 2.8一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最少？解析：设船的速度为x(x0)时，燃料费用为Q元，则Qkx3，由6k103可得k，Qx3，总费用yx2，yx，令y0得x20，当x(0,20)时，y0，此时函数单调递减，当x(20，)时，y0，此时函数单调递增，当x20时，y取得最小值，此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小9某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t5)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益销售额投入)解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)当t2百万元时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)(0x3)，又设由此而获得的收益是g(x)，则有g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)g(x)x24，令g(x)0，解得x2(舍去)或x2，又当0x2时，g(x)0；当2x3时，g(x)0，故g(x)在0,2)上是增函数，在(2,3上是减函数所以当x2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大