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霍邱二中2016届高三第四次月考数学试卷(文科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效. 4. 考试结束，只需上交答题卡.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 复数（是虚数单位）等于A. 1B. 2C. D. 3. 抛物线的准线方程为A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则 A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是A. “”是“函数是奇函数”的充要条件；B. 若：，则：，；C. 若为假命题，则均为假命题； D. “若，则”的否命题是“若，则”.6. 若实数满足，则的最小值为A. B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的为A. B. C. D. 8. 在中，则的面积为A. B. C. D. 9. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 10. 已知函数，则其图像为A. B.C. D.11. 函数，下列判断正确的是A. 的最小正周期为B. 是奇函数C. 的一个对称中心为D. 的一条对称轴为12. 设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，若在区间内关于的方程恰有3个不同实根，则的取值范围是A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 利用分层抽样的方式在学生总数为1200人的年级中抽出20名同学，其中有女生8人，则该年级男生的人数约为_. 14. 已知，则_. 15. 设椭圆的左右焦点分别为. 若椭圆上存在点使. 则椭圆的离心率的取值范围是_. 16. 已知一个四面体的所有棱长都为2，则该四面体的外接球表面积为_. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分10分）已知等差数列的前项和为，. 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和. 18. （本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：睡眠时间（小时）人数24842女生：睡眠时间（小时）人数15653男生： 现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率； 完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生女生合计P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （，其中）19（本小题满分12分）已知两直线中，内角对边分别为时，两直线恰好相互垂直.（1）求值；（2）求和的面积.20（本小题满分12分）如图，已知正方形的边长为,点分别在边上,现将沿线段折起到位置，使得（1）求五棱锥的体积；（2）在线段上是否存在一点,使得平面？若存在，求；若不存在，说明理由21（本小题满分12分）已知椭圆的方程为，离心率，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1. 求椭圆的方程； 为曲线上的三个动点，在第一象限，关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.22（本小题满分12分）已知，函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，）上有唯一解；（3）若存在均属于区间的且，使=，证明：第四次月考数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. D4. D5. D6. B7. A 8. C9. B10. A11. B12. A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 720 14. 615. 16. 三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】 (1) 设公差为，有，解得，所以. （6分）(2) 由(1)知，所以. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为，睡眠时间在的有4人，设为. 从中选取3人的情况有 ，其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，因此3人中恰有一个为“严重睡眠不足”的概率为 （6分）(2) 睡眠少于7小时睡眠不少于7小时合计男生12820女生14620合计261440所以没有的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）19 (1)当时，直线 的斜率分别为，两直线相互垂直所以 即可得所以，所以即即 4分因为，所以所以只有所以 6分(2) ,所以即，所以即 9分所以的面积为 12分20 (本小题满分12分)解（1）连接，设，由是正方形，得是的中点，且，从而有，所以平面，从而平面平面， 2分过点作垂直且与相交于点，则平面3分因为正方形的边长为，得到：，所以，所以所以五棱锥的体积；6分（2）线段上存在点，使得平面，7分证明：，所以，所以平面，9分又，所以平面，10分所以平面平面， 11分由在平面内，所以平面.12分21 (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 由题意，又，可解得，因此椭圆的标准方程为. （5分）(2) 由题意知，设，设由，消去得，所以同理可得，所以当，即时，取最小值，此时. （12分）22(本小题满分12分)（1）函数的定义域 ， 2分 令得：，令得： 4分函数的单调递减区间为，单调递增区间为 5分（2）证明:当时，由（1）知的单调递减区间为，的单调增区间为令，则在区间单调递增且，所以方程在区间上有唯一解。（注：检验的函数值异号的点选取并不唯一）（3）证明：由及（1）的结论知， 从而在上的最大值为（或）， 又由，知 故，即 从而 （12分）
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