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等腰直角三角形手拉手的旋转例：已知，在ABC中，BAC=90，AB=AC,点D在直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF，如图，当点D在线段BC上时，求证：（1）CF=BD;（2）CFBD;分析：根据等腰直角三角形的性质求出ABC=ACB=45，正方形的性质可得AD=AF, DAF=90,然后利用同角的余角相等求出BAD=CAF，再利用“边角边”证明ABD和ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形的对应角相等可得ACF=ABD，然后求出BCF=90,再根据垂直的定义证明即可.证明：（1）BAC=90，AB=AC，ABC=ACB=45,四边形ADEF是正方形，AD=AF,DAF=90，BAD+CAD=BAC=90，CAF+CAD=DAF=90，BAD=CAF,在ABD和ACF中，ABDACF，所以CF=BD.（2）ACF=ABD,BCF=ACB+ACF=45+45=90，CFBD;总结：（1）两个相似的共直角顶点的等腰直角三角形，旋转所形成的全等三角形相对孤立的边的关系是垂直且相等，如图，BCDECA，则AE=BD.AEBD,（2）延伸：两个共顶点的全等三角形旋转90时，对应的孤立边的位置关系是垂直且相等,如图，BC=DE.BCDE.练习：1.如图,ACD和BCE都是等腰直角三角形,ACD=BCE=90,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由2.如图,已知F是正方形ABCD中BC边上一点,延长AB到E,使得BE=BF,试用旋转的性质说明:AF=CE且AFCE.3.(1)如图,在ABC和ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=90.当点D在AC上时,如下面图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;将下面图1中的ADE绕点A顺时针旋转角(090),如下面图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(2)当ABC和ADE满足下面甲、乙丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.甲:ABAC=ADAE=1,BAC=DAE90;乙:ABAC=ADAE1,BAC=DAE=90;丙:ABAC=ADAE1,BAC=DAE90.1.2100027377分析：由于条件可知CD=AC，BC=CE，且可求得ACE=DCB，所以ACEDCB，即AE=BD，CAE=CDB；又因为对顶角相等即AFC=DFH，所以DHF=ACD=90，即AEBD解：猜测AE=BD，AEBD；理由如下：ACD=BCE=90，ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=DCB，又ACD和BCE都是等腰直角三角形，AC=CD，CE=CB，在ACE与DCB中，ACEDCB(SAS)，AE=BD，CAE=CDB；AFC=DFH，FAC+AFC=90，DHF=ACD=90，AEBD2. 3. 分析：（1）BD=CE，BDCE根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等ABF=ECA；然后在ABD和CDF中，由三角形内角和定理可以求得CFD=90，即BDCF；BD=CE，BDCE根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等ABF=ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角ABF=HCF，再根据三角形内角和定理证得BHC=90；（2）根据结论、的证明过程知，BAC=DFC（或FHC=90）时，该结论成立了，所以本条件中的BAC=DAE90不合适解：（1）结论：BD=CE，BDCE；结论：BD=CE，BDCE1分理由如下：BAC=DAE=90BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE AB=AC，AD=AE，ABDACE（SAS）.BD=CE，延长BD交AC于F，交CE于H在ABF与HCF中，ABF=HCF，AFB=HFCCHF=BAF=90BDCE.（2）结论：乙AB：AC=AD：AE，BAC=DAE=90
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