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压轴题（1） 班级 姓名 学号 一、选择题1.在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，则另一边BC等于( )A10 B8 C6或10 D8或102.若x0是方程ax2+2x+c=0（a0）的一个根，设M=1ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）AMN BM=N CMN D不确定3.如图，在RtABC中，C=90，CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E若BC=3，则DE的长为（）A1 B2 C3 D44.如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A6 B6 C2 D35.二次函数y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定6.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其中正确的结论有( )A.4个 B3个 C2个 D1个7.如图，在RtAOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将AOB绕点B逆时针旋转90后得到AOB若反比例函数的图象恰好经过斜边AB的中点C，SABO=4，tanBAO=2，则k的值为（）A3 B4 C6 D88.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A1： B1：2 C2：3 D4：99.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A671 B672 C673 D67410.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb2；方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3；3a+c0当y0时，x的取值范围是1x3当x0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个二、填空题11.如图，在RtABC中，B90，AB4，BCAB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是_12.如图，直线yxb与直线ykx6交于点P(3，5)，则关于x的不等式xbkx6的解集是_13.在矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= （结果保留根号）14.如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 三、解答题16.如图，在RtABC中，C=90，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E（1）求证：AC是O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长17.某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1m2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？18.已知在关于x的分式方程和一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n均为实数，方程的根为非负数（1）求k的取值范围；（2）当方程有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根x1、x2，满足x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），且k为负整数时，试判断|m|2是否成立？请说明理由19.如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断AFG与AGB是否相似，并说明理由（4）是否存在t的值，使AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由20.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？21.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离23.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC(1)若抛物线过点C、A、A，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标24.如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC 90，ABAC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BDCF，BDCF成立 (1)当ABC绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 (2)当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长DB交CF于点H. 求证：BDCF； 当AB2，AD3时，求线段DH的长答案详解一、选择题【考点】一元二次方程的解【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=c，作差法比较可得【解答】解：x0是方程ax2+2x+c=0（a0）的一个根，ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=c，则NM=（ax0+1）2（1ac）=a2x02+2ax0+11+ac=a（ax02+2x0）+ac=ac+ac=0，M=N，故选：B3.如图，在RtABC中，C=90，CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E若BC=3，则DE的长为（）A1 B2 C3 D4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得B=CAD=DAB=30，【解答】解：DE垂直平分AB，DA=DB，B=DAB，AD平分CAB，CAD=DAB，C=90，3CAD=90，CAD=30，AD平分CAB，DEAB，CDAC，CD=DE=BD，BC=3，CD=DE=1，故选A4.如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A6 B6 C2 D3【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质判定EDB是等腰直角三角形，然后再求BE【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，CDA=ADE=45，CDE=BDE=90，BD=CD，BC=6，BD=ED=3，即EDB是等腰直角三角形，BE=BD=3=3，故选D5.二次函数y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定【考点】抛物线与x轴的交点【分析】设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x20，a0，设方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解：设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x20，a0，0设方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根为a，b，则a+b=+，a0，0，a+b0故选C6.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其中正确的结论有( )A.4个 B3个 C2个 D1个【知识点】特殊平行四边形矩形的性质、相似三角形相似三角形的判定与性质、锐角三角函数锐角三角函数值的求法【答案】B.【解析】矩形ABCD中，ADBC.AEFCAB.正确；AEFCAB，CF2AF正确；过点D作DHAC于点H.易证ABFCDH(AAS).AFCH.EFDH, 1.AFFH.FHCH.DH垂直平分CF.DFDC. 正确；设EF1，则BF2.ABFEAF.AF.tanABF.CADABF，tanCADtanABF.错误.故选择B.7.如图，在RtAOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将AOB绕点B逆时针旋转90后得到AOB若反比例函数的图象恰好经过斜边AB的中点C，SABO=4，tanBAO=2，则k的值为（）A3 B4 C6 D8【分析】先根据SABO=4，tanBAO=2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边AB的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值【解答】解：设点C坐标为（x，y），作CDBO交边BO于点D，tanBAO=2，=2，SABO=AOBO=4，AO=2，BO=4，ABOAOB，AO=A0=2，BO=BO=4，点C为斜边AB的中点，CDBO，CD=A0=1，BD=BO=2，x=BOCD=41=3，y=BD=2，k=xy=32=6故选C8.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A1： B1：2 C2：3 D4：9【考点】正方形的性质【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：=，=，=，S1=S正方形ABCD，S1=x2，=，=，S2=S正方形ABCD，S2=x2，S1：S2=x2： x2=4：9；故选D9.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A671 B672 C673 D674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得【解答】解：第1个图案中白色纸片有4=1+13张；第2个图案中白色纸片有7=1+23张；第3个图案中白色纸片有10=1+33张；第n个图案中白色纸片有1+n3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb2；方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3；3a+c0当y0时，x的取值范围是1x3当x0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对进行判断；由对称轴方程得到b=2a，然后根据x=1时函数值为负数可得到3a+c0，则可对进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断【解答】解：抛物线与x轴有2个交点，b24ac0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x=1，而点（1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3，所以正确；x=1，即b=2a，而x=1时，y0，即ab+c0，a+2a+c0，所以错误；抛物线与x轴的两点坐标为（1，0），（3，0），当1x3时，y0，所以错误；抛物线的对称轴为直线x=1，当x1时，y随x增大而增大，所以正确故选B二、填空题11.如图，在RtABC中，B90，AB4，BCAB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是_【知识点】直线射线和线段垂线段最短、图形的相似平行线分线段成比例定理、平行四边形平行四边形的性质、【答案】4.【解析】根据“垂线段最短”，可知：当ODBC时，OD最短，DE的值最小.当ODBC时，ODAB.1.OD是ABC的中位线.ODAB2.DE的最小值2OD4.12.如图，直线yxb与直线ykx6交于点P(3，5)，则关于x的不等式xbkx6的解集是_【知识点】一次函数一次函数与一元一次不等式【答案】x3.【解析】由图象得到直线yxb与直线ykx6的交点P(3，5)，在点P(3，5)的右侧，直线yxb落在直线ykx6的上方，该部分对应的x的取值范围为x3,即不等式xbkx6的解集是x313.在矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=（结果保留根号）【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据EFDGFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可【解答】解：延长EF和BC，交于点G矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，ABE=AEB=45，AB=AE=9，直角三角形ABE中，BE=，又BED的角平分线EF与DC交于点F，BEG=DEFADBCG=DEFBEG=GBG=BE=由G=DEF，EFD=GFC，可得EFDGFC设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BCBG=BC+CG=9+2x+x解得x=BC=9+2（3）=故答案为：14.如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标【解答】解：反比例函数y=图象关于原点对称，A、B两点关于O对称，O为AB的中点，且B（1，2），当PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），A（1，2），B（1，2），AB=2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=3或5，此时P点坐标为（3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或5，此时P点坐标为（3，0）或（5，0）；综上可知P点的坐标为（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0），故答案为：（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）15.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为（，）【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标【解答】解：在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，OA=2，OC=1点B的坐标为（2，1），点B1的坐标为（2，1），将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，B2（2，1），Bn（2，1），矩形AnOCnBn的对角线交点（2，1），即（，），故答案为：（，）三、解答题16.如图，在RtABC中，C=90，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E（1）求证：AC是O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长【考点】切线的判定【专题】计算题；与圆有关的位置关系【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到ODA为直径，即可得证；（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由BG+GC求出BC的长，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的长即可【解答】（1）证明：连接OD，BD为ABC平分线，1=2，OB=OD，1=3，2=3，ODBC，C=90，ODA=90，则AC为圆O的切线；（2）解：过O作OGBC，四边形ODCG为矩形，GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在RtOBG中，利用勾股定理得：BG=6，BC=BG+GC=6+10=16，ODBC，AODABC，=，即=，解得：OA=，AB=+10=，连接EF，BF为圆的直径，BEF=90，BEF=C=90，EFAC，=，即=，解得：BE=1217.某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1m2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？【考点】一次函数的应用；分式方程的应用【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；（2）根据题意得（+）40=，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到=，即可得到结论【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得（30+15）+15=，解得：x=450，经检验x=450是方程的根，答：乙队单独完成这项工程需要450天；（2）根据题意得（+）40=，a=60m+60，600，a随m的增大增大，当m=1时，最大，=，=7.5倍，答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍18.已知在关于x的分式方程和一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n均为实数，方程的根为非负数（1）求k的取值范围；（2）当方程有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根x1、x2，满足x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），且k为负整数时，试判断|m|2是否成立？请说明理由【分析】（1）先解出分式方程的解，根据分式的意义和方程的根为非负数得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程化简，由方程有两个整数实根得是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和1，分别代入方程后解出即可（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断【解答】解：（1）关于x的分式方程的根为非负数，x0且x1，又x=0，且1，解得k1且k1，又一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0中2k0，k2，综上可得：k1且k1且k2；（2）一元二次方程（2k）x2+3mx+（3k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，把k=m+2，n=1代入原方程得：mx2+3mx+（1m）=0，即：mx23mx+m1=0，0，即=（3m）24m（m1），且m0，=9m24m（m1）=m（5m+4），x1、x2是整数，k、m都是整数，x1+x2=3，x1x2=1，1为整数，m=1或1，把m=1代入方程mx23mx+m1=0得：x23x+11=0，x23x=0，x（x3）=0，x1=0，x2=3；把m=1代入方程mx23mx+m1=0得：x2+3x2=0，x23x+2=0，（x1）（x2）=0，x1=1，x2=2；（3）|m|2不成立，理由是：由（1）知：k1且k1且k2，k是负整数，k=1，（2k）x2+3mx+（3k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，x1+x2=m，x1x2=，x1（x1k）+x2（x2k）=（x1k）（x2k），x12x1k+x22x2k=x1x2x1kx2k+k2，x12+x22x1x2+k2，（x1+x2）22x1x2x1x2=k2，（x1+x2）23x1x2=k2，（m）23=（1）2，m24=1，m2=5，m=，|m|2不成立19.如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断AFG与AGB是否相似，并说明理由（4）是否存在t的值，使AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）在直线y=x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；（2）由OA、OB的长可求得ABO=30，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定AFG与AGB相似；（4）若AGF为直角三角形时，由条件可知只能是FAG=90，又AFG=OAF=60，由（2）可知AF=42t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在RtAGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式【解答】解：（1）在直线y=x+2中，令y=0可得0=x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，A为（2，0），B为（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，tanABO=，ABO=30，运动时间为t秒，BE=t，EFx轴，在RtBEF中，EF=BEtanABO=BE=t，BF=2EF=2t，在RtABO中，OA=2，OB=2，AB=4，AF=42t；（3）相似理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=42t，解得t=，AF=42t=4=，OE=OBBE=2=，如图，过G作GHx轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，GH=OE=，又EGx轴，抛物线的顶点为A，OA=AH=2，在RtAGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，又AFAB=4=，AFAB=AG2，即=，且FAG=GAB，AFGAGB；（4）存在，EGx轴，GFA=BAO=60，又G点不能在抛物线的对称轴上，FGA90，当AGF为直角三角形时，则有FAG=90，又FGA=30，FG=2AF，EF=t，EG=4，FG=4t，且AF=42t，4t=2（42t），解得t=，即当t的值为秒时，AGF为直角三角形，此时OE=OBBE=2t=2=，E点坐标为（0，），抛物线的顶点为A，可设抛物线解析式为y=a（x2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a=，抛物线解析式为y=（x2）2，即y=x2x+20.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可【解答】解：（1）点D（m，n），点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，nm=1，n=m+1抛物线解析式为，y=（xm）2+m+1，四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），B（2m，2m），（2mm）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；D（2，3），抛物线解析式为y=（x2）2+3（3）如图，当点A在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），OA=OA=4，OM=2，AOM=60，AOP=AOP=30，MN=，抛物线需要向下平移的距离=3=乳头，当点A在平行于x轴的D点的特征线时，顶点落在OP上，A与D重合，A（2，3），设P（4，c）（c0），由折叠有，PD=PA，=c，c=，P（4，）直线OP解析式为y=，N（2，），抛物线需要向下平移的距离=3=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上21.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x2交于B，C两点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNx轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得ABO=CBO=45，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当MON和ABC相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标【解答】解：（1）顶点坐标为（1，1），设抛物线解析式为y=a（x1）2+1，又抛物线过原点，0=a（01）2+1，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+1，即y=x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，B（2，0），C（1，3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，ABO=CBO=45，即ABC=90，ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，x2+2x），ON=|x|，MN=|x2+2x|，由（2）在RtABD和RtCEB中，可分别求得AB=，BC=3，MNx轴于点NABC=MNO=90，当ABC和MNO相似时有=或=，当=时，则有=，即|x|x+2|=|x|，当x=0时M、O、N不能构成三角形，x0，|x+2|=，即x+2=，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；当=时，则有=，即|x|x+2|=3|x|，|x+2|=3，即x+2=3，解得x=5或x=1，此时N点坐标为（1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（5，0）22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离【考点】四边形综合题【分析】（1）结论AE=EF=AF只要证明AE=AF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明BE=CF，只要证明BAECAF即可（3）过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，根据FH=CFcos30，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题【解答】（1）解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DAC=60BE=EC，BAE=CAE=30，AEBC，EAF=60，CAF=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，AE=EF=AF（2）证明：如图2中，BAC=EAF=60，BAE=CAE，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RTAGB中，ABC=60AB=4，BG=2，AG=2，在RTAEG中，AEG=EAG=45，AG=GE=2，EB=EGBG=22，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=22，AEB=AFC=45，EAF=60，AE=AF，AEF是等边三角形，AEF=AFE=60AEB=45，AEF=60，CEF=AEFAEB=15，在RTEFH中，CEF=15，EFH=75，AFE=60，AFH=EFHAFE=15，AFC=45，CFH=AFCAFH=30，在RTCHF中，CFH=30，CF=22，FH=CFcos30=（22）=3点F到BC的距离为323.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC(1)若抛物线过点C、A、A，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标【知识点】平行四边形平行四边形的性质、旋转旋转的性质、二次函数确定二次函数的表达式（待定系数法）、函数与几何动态运动产生的面积问题及运动产生的特殊四边形问题、分类讨论思想、实际问题与数学建模函数模型【思路分析】（1）先由OAOA得到点A的坐标，再用点C、A、A的坐标即可求此抛物线的解析式；（2）连接AA, 过点M 作MNx轴，交AA于点N,把AMA分割为AMN和AMN, AMA的面积AMA的面积AMN的面积OAMN,设点M的横坐标为x，借助抛物线的解析式和AA的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立AMA的面积关于x的二次函数关系式，再求AMA面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符合题意的图形，再求解.【解答】解：(1)YABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC，点A的坐标是(0，4)，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(1，4).抛物线过点C，A，A，设抛物线的函数解析式为yax2bxc(a0),可得：. 解得：.抛物线的函数解析式为yx23x4.(2)连接AA，设直线AA的函数解析式为ykxb，可得.解得：.直线AA的函数解析式是yx4.设M(x，x23x4)，SAMA4x23x4一(一x4)一2x28x一2(x2)28.x2时，AMA的面积最大SAMA8M(2，6).(3)设P点的坐标为（x，x23x4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，当BQ为边时，PNBQ且PNBQ，BQ4，一x23x44.当一x23x44时，x10，x23，即P1(0,4)，P2(3，4)；当一x23x4一4时，x3，x4，即P3(,4)，P4(，4)；当BQ为对角线时，PBx轴，即P1(0，4)，P2(3，4);当这个平行四边形为矩形时，即Pl(0，4)，P2(3，4)时，N1(0，0)，N2(3，0).综上所述，当P1(0，4)，P2(3，4)，P3(,4)，P4(，4)时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1(0，0)，N2(3，0).24.如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC 90，ABAC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BDCF，BDCF成立 (1)当ABC绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 (2)当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长DB交CF于点H. 求证：BDCF； 当AB2，AD3时，求线段DH的长【知识点】等腰三角形等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形正方形的性质、旋转旋转的特性、全等三角形全等三角形的判判定和性质、相似三角形相似三角形的判判定和性质【思路分析】（1）先用“SAS”证明CAFBAD,再用全等三角形的性质即可得BDCF成立；（2）利用HFN与AND的内角和以及它们的等角，得到NHF90,即可得的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用BMDFHD求解.【解答】(l)解：BDCF成立证明：ACAB，CAFBAD;AFAD,ABDACF,BDCF.(2)证明：由(1)得，ABDACF，HFNADN，在HFN与ADN中，HFNAND，HNFAND,NHFNAD90,HDHF,即BDCF.解：如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.在MAD中，MADMDA45，BMD90.在RtBMD与RtFHD中，MDBHDF,BMDFHD.AB2，AD3，四边形ADEF是正方形，MAMD3.MB321,DB.DH.
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