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专题一 数的整除特征知识对对碰 1.常见数整除的特征 (1)能被11整除的数的特征。奇位数字之和与偶位数字之和相减（以大减小）的差是11的倍数。 (2)能被7（11或13）整除的数的特征：最后三位数与其余各位数所组成的数相减（以大减小），所得差是0，这个数既能被7整除；也能被11（或13）整除。如果所得的差是7（11或13）的倍数，这个数就能被7（11或13）整除。 (3)能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和为3（或9）的倍数。 (4)能被4（或25）整除的数的特征：末两位数为4（或25）的倍数。 (5)能被8（或125）整除的数的特征：末三位数为8（或125）的倍数。 (6)能被6整除的数的特征：这个数既是2的倍数，又是3的倍数。 2.数整除的性质 (1)如果数a，b都能被c整除，那么(a+b)与（a-b）也能被c整除。 (2)如果数a能被数b整除，c是整数，那么口c也能被b整除。 (3)如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。 (4)如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。名题典中题例1()判断25102能不能被7或11或13整除。例2()在内填上适当的数字，使六位数43217能被4（或25）整除。例3()自然数N由两种数字O和8组成，且是15的倍数。当N可能小时，它是15的多少倍？例4()在685后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合条件的最小六位数是多少？例5()已知一个五位数l691能被55整除，那么符合题意的五位数是几？例6()四个学生同时做加法练习，老师在黑板上写出了一个六位数，然后把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边得到一个新的六位数，老师要求将这个新得的六位数与原来的六位数相加，结果，他们四个人的得数分别是172536，568741，620708,845267。问：在这些答案中哪一个可能是正确的？为什么？例7()试将1，2，3，4，5，6，7分别填人下面的方框中，每个数字只用1次：（这是一个三位数）（这是一个三位数）（这是一位数）使得这三个数中任意两个都互质，其中一个三位数已填好，它是714。例8()三个连续自然数在100 200之间，其中最小的三位数能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，试写出所有这样的三个自然数。例9()如果下面这个41位数能被7整除，那么中间方格内的数字是几？例10()用0，1，2，9十个数字，各用1次，组成一个十位数。将这个十位数依次分成三段，每一段不少于三位数。第一段的数分别能被1，2，3整除；第二段的数分别能被4，5，6整除，第三段的数分别能被7，8，9整除，那么第一段的数是多少？（只要求写1个答案）魔法训练营 1在2579这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填_。 2在下式中分别填入三个质数，使等式成立。 +=50 3有55块糖分给甲、乙、丙三个人，甲分的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分到糖多少块？ 4把7，14，20，21，28，30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。 5一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数，求是多少。 6用数字19组成九位数，左起第一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除前九位能被9整除。已知第七位是7，求这个九位数。 7.173是个四位数，在中先后填人三个数字，所得到的三个四位数依次可被9，11，6整除，问先后填入的三个数字的和是多少。 8在内填上合适的数，使五位数736能被15整除，共有几种不同的填法？ 9小明的妈妈要到银行去取钱，可是她忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这个六位数能同时被3、4、5整除，且是符合条件中最小的一个。聪明的同学们，你能帮助小明的妈妈回忆起存折的密码吗？ 10.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？专题二 质数、合数及分解质因数知识对对碰 1.概念 质数：一个数除了1和它本身没有别的约数，这个数叫做质数，如5，7，29。 合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，如20，45，30。 互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。如12=223。这时2和3都是12的质因数。 2.性质 (1)任何大于1的合数都能表示成质数的乘积。 (2)1既不是质数，也不是合数； 质数有无限多个； 最小的质数是2； 在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数； 每个质数只有两个约数：l和它本身。 (3)如果一个质数是某个数的约数，就说这个质数是这个数的质因数。 (4)合数有无限多个； 最小的合数是4； 每个合数至少有三个约数。 (5)如果把相同的质因数合并为它的幂，则任意大于1的整数N只能唯一地表示成：是自然数，它们分别是P1，P2，Pn的指数），此式称为的标准分解式。 3.分解质因数的方法主要是短除法（在小学阶段），试除时一般从最小质数开始。名题典中典例1()连续9个自然数中至多有几个质数？例2()边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有多少种？例3()某小学六年级(4)班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3个小组。老师与学生每人种同样棵数的树，一共种了364棵。问六(4)班有学生多少人，每人种树多少棵？例4()五个相邻自然数的积是55440，求这五个自然数。例5()如图4-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上一个质数，它们的和是20，且每个小三角形顶点的数之和相等。问这6个质数的积是多少？例6()10010110220012002的末尾有多少个连续的0？例7()已知，其中p、q为质数，且P、q均小于1000，奇数，求的最大值。例8()a、b、c都是质数，如果(a +b)(b+c) =342，求a、b、c。例9()问360中共有多少个约数。例10()一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。例11()把后面8个数14，30，33，35，39，75，143，169等分成两组，使每组中四个数的乘积相等。例12()已知a(b+c)=209，请把a,b,c各换成一个质数，使前面的等式成立。魔法训练营 1.2340有多少个约数？ 2有两个质数的和是33，求这两个质数的积。 3四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数三项的乘积是2910，这个学生得第几名？分数是多少？ 4已知自然数1111155555是两个连续奇数的积，这两个连续奇数的和是多少？ 5原价5元一本的书，降低几角钱出售，共得款235元。那么售出书多少本？ 6有两个质数，它们的和既是一个小于100的奇数，又是13的倍数，这是两个怎样的质数？ 7a与b是两个大于1的自然数，a+2b，a+4b，a+6b，a+8b，a+10b都是质数。则a+b=_。 8两个相邻自然数的积是1980，求这两个相邻的自然数。9在下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字，被盖住的四个数字的总和是多少？10.在乘积100099999832l中，末尾连续有多少个零？11.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成几个质数？ 12.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且这三个自然数的乘积是15400，求这三个自然数。专题三 最大公约数和最小公倍数知识对对碰 1. 基本知识 (1)约数与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 自然数a，b的最大公约数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。 如果(a，b)=l，则a与b互质。如果a是b的倍数，则（a，b）=b。 自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。 (2)倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号a，b表示a，b的最小公倍数，例如：4，10 =20。 (3)求解方法 求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。 求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。 2.性质 (1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。 (2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。 如果(a，b)=d，那么（ad，bd）=1。 (3)若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。 (4)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。例1()已知两个数分别是4和B，已知4 =2235B=2335，求A，B的最大公约数。例2()一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？例3()三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？例4()在1500 -8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？例5()将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）例6()加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。例7()有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220厘米。现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。例8()四(1)班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。问：这个班至少有多少个学生？例9()一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？例10()用自然数a去除374，410，464，得到相同的余数。a最大是多少？例11()两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。那么这两个数的和是_。魔法训练营 1A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？ 2有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？可以截成多少根？ 3有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干小学生。学生人数在30 50之间，分到最后余铅笔13支、橡皮8块，问小学生究竟有多少人。 4把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。 5现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。求n最大是几。 6一箱鸡蛋，两个两个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。 7六年级学生参加植树活动，人数在30和50之间。如果分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组，都恰好分完。六年级参加植树活动的学生有多少人？8用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块？ 9某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。已知该班有的学生得优，有的学生得良，有的学生得中，其余学生得下。该班学生人数不超过60人，该班得下的学生有多少人？ 10.从甲地到乙地原来每隔45米安装一根电线杆，加上两端的共53根。现在改为每隔60米安装一根，除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？ 11.甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。甲校用的汽车，每车坐15人；乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛。 12.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几时？ 13.大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长。 14.有两个油桶，一个容积为27升，另一个容积为15升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出6升油来？逻辑学的用处 有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？” “当然是脏的那个。”学生说。 “不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡！” 这就是数学家的逻辑学。专题四 分数计算知识对对碰 1. 有关概念 最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数，也叫做既约分数。 分数化简：根据分数的基本性质，把一个分数化为最简分数的过程，叫做分数化简。 约分：把一个分数的分子和分母都除以它们的公约数（1除外），化成与原来分数相等的分数，这种运算叫做约分。 2.分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数值的大小不变。 分数的基本性质是通分的基础和依据。 3. 约分方法 (1)逐次约分法。把分数的分子和分母逐次除以它们的公约数，直到得出一个最简分数为止。 (2)一次约分法。把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，就得到一个最简分数。 (3)辗转相除法。当分子和分母都比较大时，一般先用辗转相除法求它们的最大公约数再约分。 4. 比较分数的大小对于分数和来说，如果，则;如果，则;如果则。名题典中典例1()一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母不变，分数值会发生什么变化？如果分数的分母扩大为原来的2倍，分子不变，分数值会发生什么变化？例2()计算：例3()计算： 例4()化简：例5()化简：例6()计算： 例7()把下面各分数化成小数。 例8()比较和的大小。例9()一个真分数，分子、分母是两个连续自然数，如果分母加3，这个分数是，求原分数。例10()分母是1998的最简真分数有多少个？例11()比大，比小，分子是17的分数共有多少个？魔法训练营 1写出所有分子是l，分母是两位数，而且只能化成不循环部分有一位数字、循环节最少位数是2的混循环小数的分数来。 2指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？有限小数的位数、不循环部分数字的个数、循环节最少位数各是几？3计算：4不求值比较和的大小。5要使成立，那么A最多可能表示为多少个不同的自然数？6在分数中，最大数是哪一个？7比较和的大小。8比1大，比2004小，分母是10的最简分数有多少个？9观察下面一串分数：，则是第几个分数？10.分母不大于50，分子不大于5的最简真分数有多少个？11.分母是20的所有最简真分数的和是多少？12.化简：14.分子与分母都是不为0的自然数，而且分子、分母的和是十位上数字为2的两位数的质数，如果分母增加17，则得到的新分数化简后得，求原来的分数？15是最简真分数，a可取的整数有多少个？请写出从小到大排的第五个数。专题五 棋盘中的数学知识对对碰 所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘(如图9-1(1) ，围棋盘(如图91(2)，还有国际象棋棋盘(如图9-1(3) 。以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称为棋盘中的数学。名题典中典例1()这是一个中国象棋盘，（图9-2中小方格都是相等的正方形，“河界”的宽等于小正方形的边长）黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置。 问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？例2()如图9-4是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个方阵时，尚余12枚棋子，如果要将这个方阵改摆成每边各加一枚棋子正方阵，则差9枚棋子才能摆满。问：这堆棋子原有多少枚？例3()如图9 - 6(1)是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入。请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。例4()国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子（中间没有棋子的情况下），如图9 -7(1)上虚线所示。如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉。那么，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？例5()如图9-8是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制二下（要符合象棋规则，“相”走“田”字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置。“马”走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）。例6()如图9 - 10(1)，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到8，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法。例7()围棋盘上横竖各有19条线（如图9 -12），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘面积的）。魔法训练营1. 如图9-16是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？ 2如图9 -17是象棋盘的一部分，一个小卒过河后沿最短的路线走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法。3如图9 -18表示某城市的街道图，若从A走到日（只能由北往南，由西向东），问共有多少种不同的走法。4图9 -19是一个道路图，4处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果最后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少孩子到过路口C?5如图9 -20，在55的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子为顶点的正方形共有多少个？ 6从8x8的方格棋盘（图9-21）中取出一个由三个小方格组成的“L”形（，可旋转），问有多少种不同的取法。7如图9 -22在5x5棋盘格中，共有多少个正方形？ 8图9 -23中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？数学家刘徽 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有重要的地位。他的杰作九章算术和海岛算经是我国宝贵的数学遗产。 九章算术约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但在此之前因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率是3.14的结果。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。 海岛算经一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。专题六 长方体、正方体的表面积知识对对碰 1.计算长方体和正方体的表面积应注意的问题 (1)找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。 (2)统一计量单位。单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一后再计算。 (3)求所需用的面积材料时，一般用“进一法”取近似值。 (4)用同样多的立方体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。 2. 长方体或正方体的切割割问题 长方体或正方体上切一刀会多两个面，切两刀多四个面几个相同的长方体或正方体粘合成一个大的长方体或正方体，一个粘合面少两个面，两个粘合面少四个面。名题典中典例1()有一个长方体纸盒，长8厘米，宽和高都是5厘米，求这个长方体的表面积。例2()给一教室粉刷墙面。教室长7米，宽6米，高4米，对教室的顶棚和四周墙壁进行粉刷，门窗面积为18.8平方米，求粉刷的面积是多少平方米。例3()图11 -1是一个长方体，长4厘米，每个小方块的体积都是1立方厘米，以阴影部分为底打一个直穿的长方体洞，所得几何体的表面积是多少？例4()用3个长5厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体木块，拼成一个大长方体，它的表面积是多少平方厘米？例5()有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体听挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？例6()如图11 -5，棱长是2分米的正方体，沿与AB棱垂直的方向切3刀，沿与BC棱垂直的方向切4刀，沿与BF棱垂直的方向切5刀，共得到大小长方体120个。问这120个长方体的表面积之和是多少平方分米。例7()在底面是正方形，长、宽、高都是整分米数，长、宽、高总和为96分米的长方体中，居中打一个底面为正方形，底面面积为4平方分米的上下直穿的长方体的洞，如图11 -6所示。前、后、左、右也分别居中打一个长14分米、宽2分米的长方体的洞，且洞边缘与长方体的每条边的距离都为1分米，如图11 -7所示。这个几何体的表面积是 平方分米。例8()如图11 -9所示，用125块体积相等的黑（用带阴影的表示）、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体，那么露在表面上的黑色正方体的个数是多少？例9()一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块，锯成的小正方体木块中，几个三面有红色？两个面、一个面有红色的各有几个？有没有六个面都没有红色的？如果有，有几个？魔法训练营1有30个棱长为1米的正方体，在地面上摆成如图11 -10的形式，求这个立体图形的表面积是多少平方米。2有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透“十字形”的孔（如图11 - 11阴影部分）。如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为l厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是多少？3有一种规格的火柴盒，长、宽、高分别是4.8厘米、3.6厘米和1.6厘米，工人将6盒火柴用包装纸打包成一个长方体，然后装箱，为了节约包装纸，要使包装后的长方体表面积为最小，这个长方体的表面积最小是多少平方厘米？4把棱长为乜厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是原来两个正方体表面积和的几分之几？5用64块1立方分米的正方体木块，摆成怎样的一个立方体，它的表面积最大？是多少平方分米？摆成怎样的一个立方体，它的表面积最小？表面积分别是多少？6小明小制作时把6个棱长分别为1、2、3、4、5、6（单位：分米）的正方体按由大到小的顺序码放成一个宝塔，并且把重合部分用胶固定粘牢，再把所有外露的部分涂上油漆，交给老师，所有涂上油漆部分的面积是多少平方分米？7如图11 - 12所示，有6个长、宽、高分别是4厘米、3厘米、5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有一个长方体只有一个面是红色的，有一个长方体恰有两个面是红色的，有一个长方体恰有三个面是红色的，有一个长方体恰有四个面是红色的，有一个长方体有五个面是红色，还有一个长方体六个面都是红色的。染色后把所有的长方体分割成棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有几个？8.19个边长是1厘米的小正方体堆成如图11 -13的形状，求它的表面积。9用铁丝做一个正方体框架，要求棱长为15厘米，至少要铁丝多少厘米？这段铁丝如果要做成长15厘米、宽14厘米、高16厘米的长方体框架，长度够不够？10.图11 -14是一个正方体纸盒拆开后的平面展开图。 (1)如果将这个展开图重新恢复成原来的正方体，那么图中的E点、F点分别与哪两点重合？ (2)如果把恢复后的正方体沿它两条棱中点的连线截成两半，并使截面为正六边形，那么，这个正六边形的六条边分别落在正方体的6个面上，请在图中画出这个正六边形的六条边。11.在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体(如图11 -15)。求这个立体图形的表面积。12.在一个六面都涂成红色的大正方体中，如果想得到100个六面都没有涂红色的小正方体，那么，每个面上至少需要等距离地切几刀？13.如图11 -16是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的挖法与前两个相同，棱长为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？鬼谷算 我国汉代有位大将，名叫韩信。他每次集合部队，只要求部下先后按13、15、l7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为中国剩余定理。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。 这首诗的意思是：用3除一个数所得的余数乘上70，加上用5除这个数所得余数乘上21，再加上用7除这个数所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道这个数了。 比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余l，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是： 170+221+315=157 157-105 =52（个） 请你根据这一算法计算下面的题目。 新华小学订了若干张中国少年报，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。新华小学订了多少张中国少年报呢？专题七 长方体、正方体的体积知识对对碰1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式(1)长方体体积=长宽高(2)正方体体积=棱长棱长棱长 2.求不规则物体的体积 如果我们碰到不规则的物体要求体积，只要用一个长方体的水箱，把不规则的物体完全浸没在水中，水箱中水上升的体积就是这个不规则物体的体积，从而解决立体图形有关问题中的体积转化。 解这类题的基本公式： 水中物体的体积=容器的底面积水上升或下降的高度 水上升或下降的高度=水中物体的体积容器的底面积 容器的底面积=水中物体的体积水上升或下降的高度 （本节中提到容积时，容器的各边长与面积均指容器内部测量数据）名题典中典例1()一只长方体包装箱，从里面量长60厘米，宽50厘米，高40厘米，内装300个药瓶（包装箱正好装满），平均每个药瓶占箱子多少立方厘米的容积？例2()一个正方体油箱里面装满了油，容积是216立方分米，把这一箱油倒入另一个长方体油箱内，已知长方体油箱长9分米，宽6分米，这个长方体油箱中油深多少分米？例3()在一只长为40厘米，宽为25厘米，水深为20厘米的玻璃鱼缸中放入一个棱长为10厘米的正方体铁块（完全浸没），水可上升到多少厘米？例4()一个底面是正方形的长方体木箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是60厘米的正方形，求这个木箱的体积。例5()有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？例6()一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少？例7()某工厂要做150个棱长为0.8米的无盖正方体硬纸箱，那么，做这些纸箱至少要用多少平方米的硬纸？这些纸箱容积和是多少立方米？例8()如图12 -1，有一个棱长为3厘米的正方体，在正方体的上底面向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为05厘米的小洞，再在小洞中向下挖一个棱长为0. 25厘米的小洞，求此时这个物体的体积。例9()在长为16厘米，宽15厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。现在往水箱里放一块石头完全沉入水中，这时水面上升了4厘米。如果把石头取出来又放人一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容积和铁球、石头的体积。例10()一个棱长都是整数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的6个面中有2个相对面是正方形，它的体积是多少？魔法训练营 1在桌面上摆放着一些完全一样的正方体积木，摆完后从前面看为图12 -2(1)，从左面看为图12 -2(2)。要摆出这个样子最多要用多少块积木？最少需要多少块积木？ 2一个长方体的正面和上面的面积之和是209平方厘米。这个长方体的长、宽、高都是整数厘米，且都是质数。这个长方体的表面积和体积各是多少呢？ 3一个长方体水箱内装满水，现有大、中、小三个钢球，第一次把小球沉入水箱中，第二次取出小球把中球沉入水箱中，第三次取出中球把小球和大球一起沉入水箱中，如果每次从水箱中溢出的水量情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问大、中、小钢球的体积比是多少。 4如图12 -3，一个正方体，日、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点，现在沿三角形GFH所在的面锯掉一个角。问锯掉的体积是整个正方体体积的几分之几。 5青青小朋友用棱长1厘米的小正方体摆成如图12 -4的形体，请帮他算出这个形体的表面积和体积。 6有一棱长为20的大正方体，在它的每个角上各作一个小正方体，这样得到8个小正方体。在这些正方体中，上面四个的棱长为12，下面四个的棱长为13，求所有这8个小正方体公共部分的体积是多少？ 7一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米？ 8图12 -5是一辆汽车模型纸平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸。将该图剪下折叠粘合（相同字母标记处粘合在一起），作成汽车模型的体积为V。请回答：403V445，473 V500，哪一个正确？为什么？ 9如图12 -6，长方体的一个面上挖去了一个小长方体，剩下部分的体积是多少？（单位：厘米）。 10.如图12 -7，A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是4米。现在要把A处的土堆到B处，使A、B两处同样高。这时B处比原来升高多少米？ 11.一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米。求原长方体的体积是多少。 12.一个长方体的长、宽、高的比是4:3:3，然后把这个长方体的长、宽、高都扩大为原来的相同的倍数后，体积比原来增加了7倍，棱长总和比原来多100厘米，这个长方体扩大后的体积是多少立方厘米？ 13.有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米且现在是空的，乙缸长4分米，宽2分米，里面水深1.5分米。现把乙缸中的水倒人甲缸，水在甲缸中深多少分米？ 14.有大、中、小三个池口都是正方形的长方体水池。它们的池口边长分别为6分米、3分米、2分米。现在把两堆碎石分别沉人中、小池内，这两个水池的水面分别上升6厘米和4厘米（碎石完全浸没且水没有溢出）。如果把这两堆碎石都沉人大水池内，那么大水池水面将上升多少厘米？（得数保留整数）专题八 行程问题知识对对碰1. 行程问题 行程问题中的基本数量关系是一类常见的重要应用题，路程、时间、速度是行程问题的三个基本数量它们之间的关系如下： 路程=时间速度 时间=路程速度 速度=路程时间 2.相遇问题 相遇路程=速度和相遇时间 速度和=相遇路程相遇时间 相遇时间=相遇路程速度和 运用相遇问题的数量关系式解决较复杂的行程问题，关键在于把这些复杂的司题转化成典型的相遇问题。必要时可画线段图帮助分析数量关系。 3.追及问题 行程问题的应用题种类较多，如果两个运动的物体同向而行，一快一慢，快在后，慢在前，快的追慢的，经过一定的时间追上，这样的应用题叫做追及问题。 追及路程速度差=追及时间 速度差追及时间=追及路程 追及路程追及时间=速度差 快车速度-慢车速度=速度差 4. 车身长问题 火车过大桥的行程问题要注意车身长，这种题的特征是计算路程时必须把火车车身的长度也考虑在内。 （车身的长度+桥的长度）车的速度=过桥的时间名题典中典例1 ()甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点32千米处相遇。东西两地相距多少千米？例2()客车和货车分别从甲、乙两地同时相向开出，客车10时到达乙地，货车15时到达甲地。已知客车比货车每时多行20千米，求两车出发后几时相遇？例3()A、B两地相距380千米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，原计划甲每时行36千米，乙每时行40千米，但开车时，甲改变了速度，也以每时40千米速度行驶。这样相遇时乙比原计划少走了多少千米？例4()A、B两地相距1800米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行。相遇后甲又走了8分钟到达B地，乙又走了18分钟到达A地。求甲、乙两人的速度各是多少。例5()东西两城相距75千米，小东从东向西走，每时行6.5千米。小希从西向东走，每时行6千米。小辉骑自行车从东向西走，每时行15千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东走，遇见了小东又折回向西走。再遇见小希又折回向东走，这样往返，一直到三人在途中相遇为止。小辉共走了多少千米？例6()客车和货车同时分别从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。两车在中途相遇后，客车又行了96千米，这时客车行完全程的80%，甲、乙两地相距多少千米？例7()甲、乙两人同时分别从A、B两地出发。如果二人同向而行，甲26分钟追上乙；如果二人相向而行，6分钟可以相遇。已知乙每分钟行50米，A、B两地相距多少米？例8()甲、乙二人同时从A地出发到B地，甲到口地后立即按原路返回，在距曰地32千米处与乙相遇。已知甲每时行20千米，乙每时行12千米。 问：A、曰两地间的距离是多少千米？例9 ()甲、乙两人以匀速绕圆形跑道按相反方向跑步，出发点在直径的两个端点。如果他们同时出发，并在乙跑完100米时第一次相遇，甲跑还差60米一圈时第二次相遇，那么跑道的长是多少米？例10()甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲、乙二人相遇。例11()A，B两地相距2400米，甲从A地，乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？魔法训练营 1老李、老王、老张同时从某地出发进行自行车比赛，老李以每时10千米的速度前进，下午1时到达目的地。老王以每时15千米的速度前进，上午11时到达目的地；老张在中午12时到达目的地，问老张每时行多少千米。 2甲、乙两只机器猫从相距18米的A、B两地同时相向而行，这时，一只机器狗在距A点2米处的C点遇到甲机器猫，它们一起向日地前进，且机器狗先遇到乙机器猫后立即返回，不停往返于甲、乙两只机器猫之间。直至三者相遇。如果甲机器猫每分爬行5分米，乙机器猫每分爬行3分米，而机器狗每分爬行9分米，那么这只机器狗从C点处开始出发，爬行了多少米？ 3周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A、曰两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B。如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）? 4小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车？ 5从甲市到乙市有一条公路，它分成三段。在第一段上，汽车限速是每时40千米，在第二段上，汽车限速是每时90千米，在第三段上，汽车限速是每时50千米，已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍。现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，在每段上两辆车都按限速行驶相向而行，1时20分后在第二段的处（甲一乙方向）相遇，那么甲、乙两市相距多远？ 6一个人骑摩托车从甲地到乙地，要行288千米，开始以每时32千米的速度行驶，途中因故停驶了2时，为要按时到达乙地，他必须把以后的速度增加16千米。求他在离甲地多远的地方停车的。 7兄妹二人在周长为30米的圆形水池边玩，他们从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。当他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？8甲、乙二人从同一地点骑车去同地旅游，甲每时行10千米，乙比甲慢一半，同时出发半小时，甲忘带相机，回家取，拿上相机再追乙（取相机时间忽略不计），假如原速度都不变，甲需多少时间追上乙？ 9快慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车速度的2倍。如果坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口的时间是多少秒。 10.两只小爬虫甲和乙，从A点同时出发，沿长方形ABCD的边，沿箭头方向爬行（如图15 -7），在离C点32厘米的E点它们第一次相遇，在离D点16米的，点，第二次相遇，在离A点16厘米的G点第三次相遇，长方形的边AB长多少厘米？ 11.每天早晨李刚准时离家上学，张大爷也在此时出门散步，并且每天都能在同一时刻在途中相遇。有一天，李刚提前出门，结果比平时早7分钟与张大爷相遇。已知李刚每分钟走70米，张大爷每分钟走40米，问这一天李刚比平时早出门几 分钟。 12.甲、乙两地相距60千米，小王骑车以每时10千米的速度在上午8时从甲 地出发去乙地。过了一会儿，小李骑车以每时15千米的速度也从甲地去乙地。小李在途中M地追上小王，通知小王立即返回甲地。小李继续骑车去乙地。各自分别到达甲、乙两地后都马上返回，两人再次见面时，恰好还在M地。小李是在几时出发的？ 13一辆长12米的大客车以每秒8米的速度由A地开往B地，在距B地4000米处遇见一个行人，1秒后大客车经过这个行人。大客车到达8地休息了10分钟后返回A地，途中追上这个行人。大客车从遇到行人到追上行人共用了多少分钟？专题九 水上行程问题知识对对碰 水上航行问题是行程问题中的一种，除了船本身的前进速度外，还受到水流的推送或阻挡，因而产生了船速、水速、顺水速度、逆水速度等一些新的概念，具有了水上航行的特殊性及其解题规律。解答水上航行问题时，要反复用到速度、时间和路程这三个量之间的关系。 1.水上航行问题中速度、路程与时间的关系 顺水速度=路程顺水时间 逆水速度=路程逆水时间 2.船速、水速、顺水速度与逆水速度的关系 船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程。水速，是指水在单位时间里流过的路程。顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。船速、水速、顺水速度与逆水速度之间有一定的数量关系。 水速=顺水速度-船速 船速=顺水速度-水速 水速=船速-逆水速度 船速=逆水速度+水速 只要知道上述公式中的任意两个量，就可以求出第三个量。 如果知道顺水速度和逆水速度，可以求出船速和水速。 船速=（顺水速度+逆水速度）2 水速=（顺水速度-逆水速度）2例1()两地相距280千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行，船在静水中的速度是每时17千米，水速是每时3千米，这艘轮船在甲、乙两地往返一次，共用几时？例2()有人在河中游泳逆流而上，某时某地丢失了水壶，水壶顺流而下。30分钟后此人才发觉此事，他立即返回寻找。结果在离丢失地点下游6千米处找到水壶。此人返回寻找用了多少时间？水速是多少？（人的游泳速度始终保持不变）例3()甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8时到达，从乙港返回甲港，逆水13时到达，求船在静水中的速度和水流速度。例4()甲、乙两船在静水中速度分别为每时24千米和每时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几时后乙船追上甲船？例5()甲、乙两船的速度分别是每时24千米和每时18千米，乙船先从某码头顺水航行，3时后，甲船同方向开出。若水速是每时5千米，则甲船开出后几时可以追上乙船？例6()一艘