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第二章线性代数,2.3一般线性方程组的求解,1.4一般线性方程组的求解,主要教学内容：线性方程组的一般理论线性方程组在几何中的应用重点难点：齐次与非齐次线性方程组的解,一.线性方程组的一般理论1.一般线性方程组解的基本定理定理：设A与分别是n元线性方程组的系数矩阵与增广矩阵若，则方程组无解若，则方程组有唯一解若，则方程组有无穷多解，且通解含n-r个任意常数（也称参数）m是非本质的？秩是本质的？,1.4一般线性方程组的求解,矩阵形式：AX=B,例5：解线性方程组解：,1.4一般线性方程组的求解,，原方程组的唯一解：x1=1,x2=2,x3=3,例6：解线性方程组解：,1.4一般线性方程组的求解,，原方程组无解,例7：解线性方程组解：看149页选取任意常数的习惯方法,1.4一般线性方程组的求解,原方程组有无穷多个解，含2个任意常数，令x3=c1,x4=c2通解：,（先看例2.3.4）例8：讨论参数a与b取什么值时,方程组有唯一解,无穷多解或无解解：,1.4一般线性方程组的求解,1)若a=0且b=0，则,显然,，因此原方程组无解,1.4一般线性方程组的求解,2)若,且则,此时原方程组也无解,3)若且则,故原方程组有无穷多解,令得原方程组的通解,1.4一般线性方程组的求解,4)若且则,此时方程组有唯一解,其解为,2.齐次线性方程组的基本定理定理.n元齐次线性方程组AX=0一定有零解（两种看法：秩；代入）若，则方程组只有零解若，则方程组有无穷多个非零解，且通解含n-r个任意常数例9：解齐次线性方程组,1.4一般线性方程组的求解,解：,1.4一般线性方程组的求解,1.4一般线性方程组的求解,有2个任意常数，令,得原方程组的通解：,注：通解表达式不唯一（参见152页，第2行改错），但所含任意常数的个数相同，所代表的解集也相同！（变中有不变）,1.4一般线性方程组的求解,有2个任意常数，令,得原方程组的通解：,注：通解表达式不唯一（参见152页，第2行改错），但所含任意常数的个数相同，所代表的解集也相同！（变中有不变）,二.线性方程组在几何中的应用讨论三个平面的位置关系:（中学学过：讨论两条直线以至多条直线之间的位置关系）,1.4一般线性方程组的求解,（中学学过讨论平面上两条直线以至多条直线的位置关系利用“一一对应”）两条直线的位置关系（删去下面的第3行和第3列）两条直线交于一点、重合、平行解线性方程组有唯一解、有无穷多解、无解,1.4一般线性方程组的求解,方程组的解与两条直线的位置关系有下列几种联系：有唯一解：两条直线交于一点有无穷多解：两条直线重合于一直线（通解含一个任意常数）没有解：两条直线无交点平行启发：通过解线性方程组可以确定平面上两条直线之间的位置关系（多条直线？）,1.4一般线性方程组的求解,三个平面的位置关系：重合、交于一条直线、交于一点、无公共点（平行或；）,在MATLAB命令窗口中运行程序ls1.m，可以得到图形：,讨论三个平面位置关系利用“一一对应”:三个平面的位置关系解线性方程组,1.4一般线性方程组的求解,方程组的解与三个平面的位置关系有下列几种联系：有唯一解：三个平面交于一点有无穷多解：三个平面交于一直线（通解含一个任意常数）三个平面重合（通解含两个任意常数）没有解：三个平面无公共交点（三个平行；两个平行；两两相交）启发：通过解线性方程组可以确定空间三个平面之间的位置关系（多个平面？）,1.4一般线性方程组的求解,例1：平面重合于一个平面解：由此解得：其中c1，c2为任意常数,1.4一般线性方程组的求解,例2:平面相交于一条直线解：由此解得：其中c为任意常数（图有误；意思对）,1.4一般线性方程组的求解,例3：平面相交于一个点（1，1，1）解：由此解得：（图有误，意思对）,1.4一般线性方程组的求解,例4：平面没有公共交点解：方程组无解（图有误，意思对）,1.4一般线性方程组的求解,讲解两个平面的相互位置关系（利用前面的例子，只看其中两个平面）,本节结束谢谢！,线性方程组解的几何意义,解：用MATLAB的rref命令可以解得：,用MATLAB绘制平面的简单方法为：,方程组（1）有唯一解,方程组（2）有无穷组解,方程组（3）和（4）无解,ezmesh()单引号内为平面方程,在MATLAB命令窗口中运行程序ls1.m，可以得到图形：,从上图中也可以看出：方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有唯一解；方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。方程组（3）的三个平面没有共同的交点。即方程组无解。方程组（4）也无解。,抽象与形象相结合,方程及方程组的几何意义行列式的几何意义平面上线性变换的几何意义向量组的线性相关性的几何意义二维矩阵特征值的几何意义二次型的正定性及其所对应的二次曲面的几何意义,本节结束谢谢！,
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