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二十六章概率波,本章教学要求：理解氢原子光谱的实验规律及玻尔的氢原子理论。了解波函数及其统计解释。了解一维定态薛定谔方程。了解角动量量子化及空间量子化。了解施特恩盖拉赫实验及微观粒子的自旋。了解描述原子中电子运动状态的四个量子数。了解泡利不相容原理和原子的电子壳层结构。,本章重点：氢原子理论,波函数及其统计解释,能量量子化,角动量量子化及空间量子化。微观粒子的自旋。本章难点：薛定谔方程。波函数及其统计解释,返回目录,下一页,上一页,第二十六章概率波,26.1概率波,26.3薛定谔方程,26.2态叠加原理,26.4定态薛定谔方程的应用,问题,26.1概率波,猜想,德布罗意物质波是概率波,电子的单缝衍射：1）大量电子的一次性行为：,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大，,大,小,波强度小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,2）一个粒子多次重复性行为,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,单个粒子出现的概率大,粒子出现的概率介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,单个粒子出现的概率小,下一页,上一页,返回本章目录,(x,y,z,t)和C(x,y,z,t)所描写状态的相对几率是否相同？这里的C是常数。,26.2态叠加原理,微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。,态叠加原理更一般表述：若1，2,.,n,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加=C11+C22+.+Cnn+.(其中C1,C2,.,Cn,.为复常数)。也是体系的一个可能状态。物理意义:处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于2态.，部分的处于n，.或者讲:一定几率处于1态,一定几率处于2态,.,量子力学的态叠加原理:,解释电子双缝干涉,=C11+C22也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：|2=|C11+C22|2=(C1*1*+C2*2*)(C11+C22)=|C11|2+|C22|2+C1*C21*2+C1C2*12*,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。,一个电子有1和2两种可能的状态，是这两种状态的叠加。,1923年，德布罗意提出了物质波假说，将波粒二象性运用于电子之类的粒子束，把量子论发展到一个新的高度。1925年-1926年薛定谔率先沿着物质波概念成功地确立了电子的波动方程，为量子理论找到了一个基本公式，并由此创建了波动力学。几乎与薛定谔同时，海森伯创立了解决量子波动理论的矩阵方法。1925年9月，玻恩与另一位物理学家约丹合作，将海森伯的思想发展成为系统的矩阵力学理论。不久，狄拉克改进了矩阵力学的数学形式，使其成为一个概念完整、逻辑自洽的理论体系。1926年薛定谔发现波动力学和矩阵力学从数学上是完全等价的，由此统称为量子力学，而薛定谔的波动方程由于比海森伯的矩阵更易理解，成为量子力学的基本方程。,量子论的建立,引进方程的基本考虑,从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。,让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。,（1）经典情况,（2）量子情况,1因为t=t0时刻，已知的初态是(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间的一阶导数。,2另一方面，要满足态叠加原理，即，若1(r,t)和2(r,t)是方程的解，那末。(r,t)=C11(r,t)+C22(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含,对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。3方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,（三）自由粒子满足的方程,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将对坐标二次微商，得：,将上式对t微商，得：,(1)(2)式,讨论：,通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式写成如下方程形式：,做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3）。,该方程称为自由粒子Schrodinger方程,（四）势场U(r)中运动的粒子,该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。,若粒子处于势场U(r)中运动，则能动量关系变为：,将其作用于波函数得：,做算符替换得：,或根据,得：,（五）多粒子体系的Schrodinger方程,设体系由N个粒子组成，质量分别为mi(i=1,2,.,N)体系波函数记为(r1,r2,.,rN;t)第i个粒子所受到的外场Ui(ri)粒子间的相互作用V(r1,r2,.,rN)则多粒子体系的Schrodinger方程可表示为：,（一）定态Schrodinger方程,现在让我们讨论外场不含时间情况下的Schrodinger方程：,可分离变量，令：,令,于是有:,定态Schrodinger方程,整理后,可以得到如下两个方程:,Schrodinger方程的一般的解,Schrodinger方程：,此方程是一个线性方程因此方程的一般解为：,26.4定态薛定谔方程的应用,设粒子的质量为m,其势能函数为:,由边界条件，x=0,由x=a,本征能量（本征值）为：,n=1,2,3,.,概率密度为：,讨论,下一页,上一页,返回本章目录,状态,本征能量,本征函数,概率密度,假如粒子能量为0，对应的动量也为0，违背了测不准关系,下一页,上一页,返回本章目录,26.4.2粒子在中心力场中的运动,氢原子光谱,巴尔末又指出,如将上式中的“22”换成其它整数k的平方,还可得到其它谱线系.,巴尔末公式,下一页,上一页,返回本章目录,卢瑟福（Rutherford）J.J汤姆孙的学生，他既有才能又刻苦工作，精力充沛又非常自信。1908年卢瑟福研究衰变获诺贝尔化学奖，尽管他高兴得到诺贝尔奖，但他不喜欢该奖是化学奖，而不是物理学奖。我观察到许多由一种物质变为另一种物质的嬗变现象，但从来没有看到过象我这样变化得这么快，一夜之间由一个物理学家转变为化学家。卢瑟福诺贝尔领奖演说卢瑟福的学生有14人获诺贝尔奖，其中之一玻尔的学生有7人获诺贝尔奖。卢瑟福的实验室被后人称为“诺贝尔奖得主的幼儿园”。他的头像出现在新西兰货币的最大面值-100元上面，作为国家对他最崇高的敬意和纪念。,1）稳定问题-经典理论得出原子是”短命“的,经典理论：电子绕核运动是加速运动必向外辐射能量，电子轨道半径越来越小，直到掉到原子核与正电荷中和，这个过程时间10-12秒，因此不可能有稳定的原子存在。,2）经典理论得出原子光谱是连续光谱,经典理论：原子发光频率等于电子绕核运动频率，因此电磁波频率r-3/2，由于半径的连续变化，必导致产生连续光谱。,三、经典理论的困难,1913年英国剑桥大学的学生NBohr提出了新的假设，成功地解释了H原子光谱。,下一页,上一页,返回本章目录,说明,里德伯常数的理论值：,下一页,上一页,返回本章目录,赖曼系,巴耳末系,帕邢系,布喇开系,氢原子能级图,-0.85ev,-13.6ev,五、玻尔理论的成功与局限,成功：解释了H光谱，尔后有人推广到类H原子（）也获得成功（只要将电量换成Ze（Z为原序数）。他的定态跃迁的思想至今仍是正确的。并且它是导致新理论的跳板。1922年获诺贝尔奖。,局限：1理论不严密，自相矛盾（把经典理论与非经典理论混杂起来）2只能解释H及类H原子，不能解释各谱线的相对强度及禁戒跃迁也解释不了原子的精细结构。3仅对单电子原子成功，对两个电子的中性原子的处理糟糕透了,原因：它是半经典半量子理论的产物。还应用了经典物理的轨道和坐标的概念,因此，玻耳理论称为旧量子论,它是经典理论与量子理论之间的一座桥梁,玻尔(NBohr)其人：它是卢瑟福的学生，在其影响下具有严谨的科学态度，勤奋好学，平易近人，后来很多的科学家都有纷纷来到他身边工作。当有人问他，为什么能吸引那么多科学家来到他身边工作时，他回答说：“因为我不怕在青年面前暴露自已的愚蠢”。这种坦率和实事求是的态度是使当时他领导的哥本哈根理论研究所（是当时国际物理学的三大研究中心之一，被许多物理学家誉为“物理学界的朝拜圣地”和“量子力学的诞生地”。）永远充满活力，兴旺发达的原因。爱因斯坦评价说：,“作为一个科学的思想家玻尔具有那么惊人的吸引力；在于他具有大胆和谦逊两种品德难得的结合”,1947年丹麦女皇授予玻尔“宝象勋章”，玻尔亲自设计了以中国阴阳图为图案的族徽，铭文是contrariasuntcomplementa(互斥即互补),氢原子的量子力学处理,下一页,上一页,返回本章目录,下一页,上一页,返回本章目录,塞曼效应,1896年，塞曼发现在磁场中谱线分裂的现象。塞曼和洛伦兹用用经典理论作了分析。为此，他们于1902年共同获得了诺贝尔物理学奖金。但是只有量子力学才能对塞曼效应作出全面解释。,l=1,l=0,塞曼效应可以用空间量子化来说明。如图所示，在外磁场中，对于l=1的能级，共有三个量子态，即ml=0,1，于是从能级l=1的三个量子态分别跃迁到能级l=0时，就产生了三条谱线，这种现象，称为正常塞曼效应。,反常塞曼效应：有些元素，例如钠谱线在弱磁场中分裂为四条、六条谱线，这种现象称为反常塞曼效应。1926年，海森伯考虑了电子的自旋后，才用量子力学对反常塞曼效应给出了正确的说明。,5.电子云电子在空间的几率分布,波函数：,几率密度：,代表电子在体积元,范围内出现的几率,在半径r到r+dr的球壳内找到电子的几率,称为径向几率分布,径向几率分布图,比较:量子力学与玻尔理论的异同,(2)史特恩-盖拉赫实验,银原子通过狭缝，经过不均匀磁场后，打在照相底板上。s态的原子射线，在不加磁场时，出现狭缝的原子沉积。加上磁场后，底板上呈现两条原子沉积。,结论：原子具有磁矩，在磁场力的作用下发生偏转并且在外磁场中只有两可能的取向，即空间取向是量子化的。,上述磁矩不可能是电子绕核作轨道运动的磁矩。因为当角量子数为l时，磁矩在磁场方向的投影有(2l+1)个不同的值，因而在底片上的原子沉积应该有奇数条，而不可能只有两条。,(2)史特恩-盖拉赫实验,2、电子自旋的假设,1925年，当时年龄还不到25岁的两位荷兰莱顿大学的学生乌仑贝克和高德斯密特提出电子自旋的假设，认为电子除了作绕核的轨道运动之外，还有自旋运动，相应地有自旋角动量和自旋磁矩，且自旋磁矩在外磁场中只有两个可能的取向。,电子自旋角动量,s自旋角动量量子数，简称自旋量子数，它只能取一个值s=1/2,自旋角动量在外磁场方向的投影,ms称为自旋磁量子数，它只能取两个值ms=1/2,电子具有自旋运动及具有自旋磁矩是电子的基本属性,斯特恩盖拉赫实验的解释,对于s态的银原子，l=0，即处于轨道角动量及相应的磁矩皆为零的状态，因而只有自旋角动量和自旋磁矩，所以在非均匀磁场中，原子射线分裂成两条。,原子的电子壳层结构,返回本章目录,下一页,上一页,下一页,上一页,返回本章目录,来比较,复杂的能级排序用,在气体放电管中，用能量为12.1ev电子去轰击处于基态的氢原子,此时氢原子所能发射的光子的能量只能是:(A)12.1ev(B)10.2ev(C)12.1ev,10.2ev,1.9ev(D)12.1ev,10.2ev,3.4ev,答案：（C）,已知粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为,那么，粒子在处出现的概率密度为,答案：（A）,下列四组量子数,其中可以描述原子中电子状态的,答案：（C）,根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为当主量子数n=3时,电子动量矩的可能值为,答案：,根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向的投影为,当角量子数=2时,电子动量矩的投影值可能为,答案：,谢谢大家一年来的努力和合作！,祝大家新年快乐！,
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